2024届山东省泰安市高三下学期一模数学试题（含答案）

这是一份2024届山东省泰安市高三下学期一模数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了03等内容，欢迎下载使用。
数学试题
2024.03
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．物物线C．直线D．圆
4．若，则（ ）
A．B．C．2D．
5．在同一直角坐标系中，函数，且的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知非零向量满足，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则在复平面内对应的点在第二象限
C．若，则
D．若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为
10．下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据的第60百分位数为14
B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习惝况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则从的中生中抽取的人数为70
C．若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3
D．随机变量服从二项分布，若方差，则
11．已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．有最大值
C．D．函数是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知二项式的展开式中的系数为15，则_______．
13．在中，内角的对边分别为，已知，则_______．
14．如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为_______，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成夹角的大小．
16．（15分）
某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记-1分，得分在5分以上（含5分）则获奖．
（1）求在1次游戏中，获奖的概率；
（2）求在1次游戏中，得分X的分布列及均值．
17．（15分）
已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．
18．（17分）
已知函数．
（1）若，曲线在点处的切线与直线垂直，证明：；
（2）若对任意的且，函数，证明：函数在上存在唯一零点．
19．（17分）
已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）．
（1）求数列的前项和；
（2）定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．
证明：①对任意且，存在“-数列”，使得成立；
②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．
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数学试题参考答案及评分标准
2024.03
一、选择题：
二、选择题：
三、填空题：
12．6 13． 14．
四、解答题：
15．（13分）
解：取中点，连接
因为底面为菱形，，
所以
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
（1）
（2）设平面的法向量为
又
所以即
取，则
为平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则
平面与平面的夹角为
16．（15分）
解：设“在1次游戏中摸出个红球”为事件
（1）设“在1次游戏中获奖”为事件，则，且互斥
（2）由题意可知，所有可能取值为
的分布列为
17．（15分）
解：（1）圆过
又圆过
又
椭圆的方程为
（2）（法一）解：设，则
由题知且
则
由解得
又
又
直线的斜率或
（法二）解：如图，连接
关于原点对称
三点共线且为中点
又
为的重心
为边中点
设，则
又
直线的斜率或
18．（17分）
解：（1）
设，则
设，则
单调递增
又
存在使得即
当时，单调递减
当时，单调递增
（2）
在上单调递增
又
设，则
令，解得
当时，单调递减；当时，单调递增
当时，，即
，
又
存在，使得
又在上单调递增
函数在上存在唯一零点
19．（17分）
解：（1）
各项均不为0且递增
化简得
为等差数列
（2）证明：设“G-数列”公比为，且，
（1）由题意，只需证存在对且成立
即成立
设，则
令，解得，
当时，单调递增，当时，单调递减
存在，使得对任意且成立
经检验，对任意且均成立
对任意且，存在“G-数列”使得成立
②由①知，若成立，则成立
当时，取得，取得
由得
不存在
当且时，不存在“G-数列”使得对任意正整数成立．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
D
C
B
C
B
D
题号
9
10
11
答案
ACD
BC
ACD
2
5
8