二次函数中面积的最值问题（六大题型）--中考数学压轴题专项训练

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通用的解题思路：
二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：
1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：
一般步骤为：①设出要求的点的坐标；
②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；
③列出关系式求解；
④检验是否每个坐标都符合题意．
2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：
一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；
②通过已知点的坐标，求出直线解析式；
③求出题意中要求点的坐标；
④检验是否每个坐标都符合题意．
题型01 三角形面积最值问题
1．（2024·宁夏银川·一模）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，且在直线上方，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．
①当时，求m的值；
②设的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．
2．（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图，抛物线（b，c 是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
3．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，抛物线交轴于两点（点在点的左侧），交轴正半轴于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点的横坐标．
(3)平面上有两点，求的面积的最小值．
4．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）中，，，， 点 P从点C出发，沿射线方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点 B 出发，沿射线方向运动．设运动时间为x （且）秒， 的面积为S．
(1)当时， 如图①， 求S与x的函数关系式；
(2)当时， 如图②， 求S的最大值；
(3)若在运动过程中，存在两个时刻，，对应的点P和点Q分别记为 ，和，对应的和的面积分别记为和，且当时，，请求出的值．
5．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由．
7．（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标；
(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标．
8．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；
(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，求的最大面积；
(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
9．（2024·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 B，，与y轴交于点．

(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形? 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求 面积的最大值．
10．（2024·安徽安庆·一模）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．
①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标．
11．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直接写出当时，x的取值范围；
(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接．求面积的最大值及此时点P的坐标．
12．（2024·天津西青·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．
(1)若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
13 ．（2024·山东临沂·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点D在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在，请帮助小明求出时点D的坐标．
14．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．
15．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当P点位于第四象限时，求面积的最大值，并求出此时P点坐标；
(3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为 h．
① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．
16．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）抛物线 经过点和点．该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点 M、N．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)连接，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
(3)连接，过点 C作垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得与相似？ 若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
17．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求出这条抛物线的函数表达式；
(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线轴，直线l与的外接圆相交于点E．
①仅用无刻度直尺找出图2中外接圆的圆心P．
②连接、，与直线的交点记为Q，如图3，设的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．
18．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，于点D，，，点P从点B出发，在线段上以每秒的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于的直线m从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交、、于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)__________，__________（用含t的式子表示）．
(2)在整个运动过程中，所形成的的面积存在最大值，当的面积最大时，求线段的长；
(3)是否存在某一时刻t，使为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
19．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，为线段上一动点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，当与的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
20．（2024·湖南衡阳·一模）如图，已知抛物线经过三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
21．（2024·甘肃天水·一模）如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与轴交于两点，是抛物线的顶点．为坐标原点．两点的横坐标分别是方程的两根，且．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)作交抛物线于点，求点的坐标及直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在一点，使的面积最大？如果存在，请求出点的坐标和的最大面积；如果不存在，请说明理由．
22．（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2024·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于A、B两点，过点作轴垂线，垂足为，连接．现有动点同时从点出发，分别沿向终点和终点运动，若点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为秒．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当时，__________；
(3)设的面积为，写出与的函数关系式，并求面积的最大值；
(4)当为轴对称图形时，直接写出的值．
24．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
(3)若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
26．（2024·湖南长沙·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，直线交y轴于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为线段上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接，，求面积的最大值．
(3)连接，在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2024·江西萍乡·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知，，连接，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以为顶点的三角形与相似，求出点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接，．设的面积为S，试求S的最大值．
28．（2024·四川广元·二模）如图1，抛物线与x轴交于两点，且点B的坐标为，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上的一个动点，连接，求面积的最大值．
29．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
30．（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
31．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点，为抛物线的顶点．

图1 图2
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是第一象限内抛物线上一动点，连接，设点的横坐标为．
①当为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
②当为何值时，是直角三角形？
(3)如图2，过作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请直接写出实数的取值范围．
32．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
33．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求面积的最大值；
(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
题型02 四边形面积最值问题
34．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标.
35．（2024·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一点（点不与点B，C重合），过点作轴交直线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段长的最大值；
(3)连接，请直接写出四边形的面积最大值为________．
36．（2024·山西运城·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，连接、、，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
37．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点．抛物线与轴交于两点，直线：与抛物线交于两点，且，．
(1)求的值；
(2)点是线段上的动点，点在轴上，，且点在的左边．过点作轴，交抛物线于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
记以为顶点的四边形面积为，求的最大值．
38．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示；
①求的值；
②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
39．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，过原点的二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于，与y轴交于点．
(1)分别求此二次函数与直线的解析式．
(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为t．
①当时，求t的值；
②当点P在直线下方时，连接，过点B作轴于点Q，与交于点F，连接，求四边形面积的最大值．
40．（2024·山东济南·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
41．（2024·四川广元·二模）如图，二次函数的图象与x 轴交于原点O 和点，经过点A的直线与该函数图象交于另一点，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数解析式及点C的坐标．
(2)点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，过点B作轴于点F，连接，与交于点G，连接．求四边形面积的最大值．
(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2024·广东珠海·一模）如图，抛物线和直线交于，点，点B在直线上，直线与x轴交于点C．
(1)求的度数．
(2)点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．以为边作矩形，使点N在直线上．
①当t为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
43．（2024·安徽宿州·二模）如图1，抛物线（a，b是常数且）与x轴交于点和点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点.
(1)求a，b的值；
(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
（i）如图2，连接，，，求四边形面积的最大值；
（ii）如图3，连接并延长交延长线于点Q，连接交于点E，求的值.
44．（2024·安徽·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，点在该抛物线上，横坐标为，将该抛物线两点之间（包括两点）的部分记为图象．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图象的最大值与最小值的差为4时，求的值；
(3)如图2，若点位于下方，过点作交拋物线于点，点为直线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
45．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）二次函数经过点，点，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接，过点作的平行线交二次函数于点，连接，，，．求四边形面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)如图2，过点作轴，交于点（点不与点重合），过点作轴，交于点，当时，直接写出点的坐标．
题型03面积比最值问题
47．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点．
(1)求a的值；
(2)点D为第四象限抛物线上一点
①求的面积最大值
②连接交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
48．（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
49．（2024·湖北省直辖县级单位·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
(1)求出点和点的坐标；
(2)如图①，连接，为轴的负半轴上的一点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，是点关于抛物线的对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点，设和的面积分别为和，求的最大值．
50．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
51．（2024·四川南充·一模）抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴为，点是抛物线在第一象限上动点，连接，．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标．
52．（2024·湖北孝感·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求，的值及直线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点，
(ⅰ)若，求点P的坐标，
(ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值；
(3)如图2，将抛物线位于轴下方面的部分不变，位于轴上方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围．
题型04 面积和最值问题
53．（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为．
(1)求a，b的值；
(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；
(3)当点D在第一象限时，求＋的最大值；
(4)当时，直接写出m的值．
题型05 面积差最值问题
54．（2024·安徽合肥·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点在轴上（在的右侧），且，过点，分别作轴的垂线交抛物线于点，连接，并延长交于点．
①求的长（用含的代数式表示）；
②若的面积记作的面积记作，记，则是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．
55．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过点A．
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若直线与抛物线的对称轴交于点E．
①若点E为抛物线的顶点，求a的值；
②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记的面积为，记的面积为，，求S与x的函数表达式，并求出S的最大值．
56．（2024·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为点，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，点为抛物线在第一象限内的点，连接交于点，当取最大值时，试求点的坐标．
57．（2024·广东广州·一模）综合应用
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线与抛物线在第二象限交于点，若动点在上运动，线段绕点顺时针旋转，点首次落在轴上时记为点，在点运动过程中，判断的大小是否发生变化？并说明理由．
(3)在（）的条件下，连接，记的外接圆的最小面积为，记的外接圆的最大面积为，试求的值（结果保留）．
58．（2023·湖北荆州·中考真题）已知：关于的函数．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
59．（2024·安徽·一模）已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定a的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标．
题型06 五边形面积最值问题
60．（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线与x轴的交点为，与y轴交点为C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线的A~B段上存在点P，求五边形面积的最大值；
(3)问该抛物线上是否还存在与点P不重合的点Q，使以A、B、C、D、Q五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形面积的最大值，若存在，直接写出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．