重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了已知向量满足等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.作答前､考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡的规定位置上.
2.作答时､务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.试卷满分150分，考试时长120分钟.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量满足：，则（ ）
A.1 B.3 C. D.10
3.在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B.2 C. D.
4.在中，动点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
5.在中，角的对边分别为，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用.有机物“萘”可以用左下图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右下图所示的图形.已知与为全等的正六边形.若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，角的对边分别为，若，又的面积，且，则（ ）
A.64 B.84 C.-69 D.-89
8.已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于同一平面内的任意三个向量，下列四种说法错误的有（ ）
A.
B.若，且，则
C.若，则或
D.
10.在中，角的对边分别为，且已知，则（ ）
.若，且有两解，则的取值范围是
B.若，且恰有一解，则的取值范围是
.若，且为钝角三角形，则的取值范围是
D.若，且为锐角三角形，则的取值范围是
11.在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
12.在锐角中，已知角的对边分别为，且，，则下列说法正确的是有（ ）
A.的外接圆的周长为
B.的周长的取值范围为
C.的面积的取值范围为
D.的内切圆的半径的取值范围为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
14.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度__________米.
15.如图：在平行四边形中，为对角线与的交点，为直线与的交点，为直线与的交点，若，，且，则__________.
16.在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于__________.
四､解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知向量.
（1）若向量，求向量与向量的夹角的大小；
（2）若向量，求向量在向量方向上的投影向量的坐标.
18.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，角的平分线与交于点，且，求边的值.
19.如图：在中，已知与交于点.
（1）用向量表示向量；
（2）过点作直线，分别交线段于点，设，若，，当取得最小值时，求模长.
20.在中，角的对边分别为，若，又以为边长的三个正三角形的面积分别为，且.
（1）求的面积：
（2）若，求的周长.
21.为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园.如图：四边形内接于圆（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）.又根据规划已知千米，千米.
（1）若，且，求边的长为多少千米？
（2）若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的最小值为多少平方千米？
22.定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点.
（1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
（2）若函数的“源向量”为，且以为圆心､为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
（3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围.
重庆市巴蜀中学高2026届高一（下）学月考试
数学参考答案
一､单择题：
1-4BDBA 5-8BCCD
1.解析：，得，故选.
2.解析：由，得，故选.
3.解析：由，得，即，则，
则，则为等腰直角三角形，所以，故选.
4.解析：由，得，
即，即，
即（其中为中点），点动的轨迹一定通过的外心，故选.
5.解析：，所以，则，即则，故选.
6.解析：由“等和线结论”知：，选.
7.解析：由，得，则，
即，即，即；
又，得；综上.则，即.
由，平方知，故选.
另解：
8.解析：和相互垂直，则，则，
又恒成立，则，即，则，
法（一）：
对称轴时：，即
法（二）：，因为，
所以向量的终点共线（起点重合），
则的面积，
，所以，故选.
二､多选题：
9.ABC 10.AD 11.ABC 12.BCD
9.解析：选项：向量的点乘不满足结合律，选项错误；
选项：若，则不一定成立，选项错误；
选项：，但是与不一定是同向或反向，选项错误；
选项：，选项正确；
故选.
10.解析：选项：，且，则，选项正确；
选项：①，则；②且，则
综上或，选项错误；
选项：①为最大边：，且，此时；
②为最大边：，且，此时，选项错误；
选项：，且，所以，选项正确；
故选.
11.解析：选项：为垂心，为高线的交点，则，选项正确.
选项：，选项正确；
选项：，选项正确；
选项：，选项错误；
故选.
12.解析：由，得到，得到，
由，得到，则，得到
因为为锐角三角形，则，且，得
选项：，即，外接圆周长为，选项错误；
选项：周长
，选项正确；
选项：面积
，选项正确；
选项：，得
内切圆，则
，选项正确；
故选.
三､填空题：
且 14. 15. 16.
13.解析：，得，当时：，得
即答案为：且
14.解析：设，则
在中：，则
得到米，即答案为
15.解析：相似于，且，得到，所以分别为的中点，得到为的重心，从而为的三等分点，
则.则，即答案为.
16.解析：由，得，
注意，得，得，
记，由，知，
在中：，即，
得，所以，即答案为.
法（二）：设，在中：①
，则，得②
联立①②知：，即，解得，后面同上.
四､解答题：
17.解析：（1），则，则，向量与向量的夹角为
（2），则，得
投影向量
18.解析：（1）由，得，即，
因为，所以，又因为，所以.
（2）面积，所以；
为角平分线，所以，
即，即
从而，所以.
19.解析：（1）设，将代入，得因为三点共线，且三点共线，所以，得
即.
（2），
则，因为三点共线，
则，即
当且仅当，即时取得等号.
此时
20.解析：（1），则
则；又，即
，所以，面积
（2），则，则
又，所以
周长.
21.解析：（1），则
在中：，即
在中：，由正弦定理知：
，即，则千米
（2）设，则，则
在中：
在中：
则，得
所以
因为圆心在的内部或边界，所以，则，所以.
22.解析：（1）函数的“源向量”为，所以，，则，则当时，
则当时，，所以函数的值域为
（2）法（一）
则的源向量为，圆内切于正，
则，又因为，所以
法（二）因为，则，则，又）
且，从而，，，
则
（3）函数的“源向量”为，则，则
则
则又，即，
所以，
因为，即，当且仅当时取等号，
又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0，
综上所述：，换元令，则
从而，其中，
所以，
即的取值范围.
法（二）：
（为的中点），
且，所以，外接圆
从而
其中，且，并且
当接近时：接近0，当时，，综上所述
从而，
即的取值范围.
另解求的取值范围：外接圆
所以，记
在中：，
其中，即，所以.