河北省承德市四县联考2025届高三上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份河北省承德市四县联考2025届高三上学期期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，
函数有意义满足，即，
解得：，
所以，
故选：D
2. 已知为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】由，得，
.
故选:．
3. 已知是公差为的等差数列，且，则（ ）
A. 3B. 9C. 18D. 24
【答案】B
【解析】因为是公差为的等差数列，，
所以，
故选：B.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. 1516C. D. 1517
【答案】D
【解析】由题意，在中，
因为当时，，所以是以为周期的周期函数，
故，
，
所以.
故选：D.
5. 已知、是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易知点，设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得，，
由韦达定理可得，，
，，因为，则，
所以，，可得，，可得，
，而，
所以，，解得.
故选：D.
6. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形．图中四边形的对角线相交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】延长、交于点，取的中点，连接，
易知为等腰直角三角形，则，，
所以，，，，
故为等腰直角三角形，且，则，
因为、分别为、的中点，则，且，
所以，，故.
故选：B.
7. 已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为，
则有，
而，，
又由，，平分，则，
则；
故，而，
则有，
又由点在上且满足，故到平面的距离为，
则有，
故．
故选：B．
8. 已知函数的定义域是，且满足，（其中为自然常数，），则下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递增B. 在上单调递减
C. 在上有极大值D. 在上有极小值
【答案】B
【解析】设，则（为常数），
所以，，故，
因为，解得，所以，，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递减.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 现有10道判断题，某学生对其中7道题有思路，3道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.5．该同学从这10道题中随机选择1题，记事件A：选择的是有思路的题，记事件B：答对该题，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由题意可得：
，，，A错误；
，则，B错误；
由全概率公式可得，所以，C正确；
，D正确．
故选：CD
10. 已知函数，若函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数内一定取得到最大值
D. 函数在内至多有一个零点
【答案】AD
【解析】由，
所以，在上，此时递减，
所以为且的子区间，
，则，故，即，A正确；
当，则，而，故，故上不一定单调，B错误；
由B分析知：，故当时，此时取不到最大值，C错误；
当，则，而，故，
所以，当时，在内无零点；
当时，在内有一个零点；
故在内至多有一个零点，D正确.
故选：AD
11. 设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（ ）
A. 的最大值为
B. 直线的斜率乘积为定值
C. 若轴上存在点，使得，则的坐标为或
D. 直线过定点
【答案】BCD
【解析】对于A，在椭圆上，，，
，
由题意知：，的对称轴为，
若，即时，，；
当，即时，，；
综上所述：A错误；
对于B，关于轴对称，，，，
，B正确；
对于C，假设存在点，使得，，则∽，；
直线，直线，，，
，即或，C正确；
对于D，，，，
直线，即，
直线过定点，D正确.
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是_________．
【答案】7
【解析】的展开式的通项，
令，得，因，所以当时，有最小值为7.
故答案为：7.
13. 光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为______.
【答案】
【解析】如图，入射角，设折射角为，，，
则，，
所以，则，，
所以，且.
该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，
则其所在直线的斜率为
，
直线的方程为，整理得.
故答案为：
14. 设函数，设的最小值为M，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意，函数，
因为的最小值为，即，即表示圆及其外部的部分，
又因为命题成立，即时，恒成立，
当直线与圆相切时，
可得
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
可得的最小值为，所以的最大值为，
所以的最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
解：（1），
，
，
，
当时，也成立，
（2），由（1）知，
，
，
，
.
16. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，……，，.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取3人，求此3人评分至少有两人在的概率.
解：（1）由频率分布直方图得，解得；
（2）评分在的概率为，评分在的概率为，所以该企业的职工对该部门评分的50%分位数位于，
所以50%分位数为；
（3）受访职工中评分在的有：人，记为，，，
受访职工中评分在的有：人，记为，，
从这5名受访职工中随机抽取3人，所有的可能结果有10种，分别为：，，，，，，，，，，
抽取的3人中，评分至少有两人在包含的基本事件有：，，，，，，，共7个，
故所求概率为
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求直线到平面的距离．
（1）证明：因为平面平面，
平面平面，
，
平面，
所以平面．
（2）解：因为底面为正方形，平面，
所以，，两两互相垂直．
如图，建立空间直角坐标系．
因为，
所以，，，，
，.
因为平面，
所以为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则．
于是．
设平面与平面的夹角为，
所以
即平面与平面夹角的余弦值为． ．
（3）解：由（2）知，平面的法向量为，．
因为，且平面，
所以PB∥平面ACQ．
所以点到平面的距离即为直线到平面的距离．
因为，
所以点到平面的距离为，
即直线到平面的距离为． ．
18. 已知焦点在轴上的双曲线经过点.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长.
解：（1）设双曲线的方程为，则，，
所以，；
（2）由（1）得双曲线的方程为，设，
，，，
，
弦长为8.
19. 已知函数.
（1）当时，不用计算器，用切线“以直代曲”，求的近似值（精确到四位小数）.
（2）讨论函数的零点个数.
解：（1）当时，，求导得，则，而，
因此函数的图象在点处的切线方程为，即，
函数中，当时，，
所以的近似值为.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，恒成立，即函数在上单调递减，显然，
当时，，则，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
于是，即，则，从而，
显然函数在上单调递减，
取，，
则当时，，
因此函数在上有唯一零点；
当时，由，得；由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
①当时，只有一个零点；
②当时，，函数没有零点；
③当时，，
，
因此在上有一个零点，
设，
则，
令函数，求导得，
函数在上单调递增，，
则，因此函数在上有一个零点，从而有两个零点，
所以当或时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，没有零点.