2024-2025学年江苏省常州市高一数学下学期3月阶段调研考试（附答案）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市高一数学下学期3月阶段调研考试（附答案），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，，夹角为120⁰，则等于（）.
A. B. 6C. D.
3. 已知向量，，那么向量可以是（）
A. B. C. D.
4. 是平行四边形外一点，用、、表示，正确表示为（）
A. B.
C. D.
5. 有关平面向量的说法，下列正确的是（）
A. 若，，则B. 若与共线且模长相等，则
C若且与方向相同，则D. 恒成立
6. （）
A. 1B. C. 3D.
7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
8. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（）
A. 9B. C. 12D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列说法正确的是（）
A. 的最小值为1
B. 若，则
C. 若，与垂直的单位向量只能为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10. 下列化简结果正确的是（）
AB.
C. D.
11. 在中，下列说法正确的是（）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，，则为等边三角形
C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D. 若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，设，则的值为___________.
13. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则________________.
14. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为．已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是平面上两个不共线的向量且
（1）若方向相反，求的值；
（2）若三点共线，求的值.
16已知，，，求：
（1）；
（2）与的夹角．
17. （1）已知，，且及，求的值；
（2）若，，求的值.
18. 在平面直角坐标系中，已知向量，.
（1）若，，求的值；
（2）若与的夹角为且，求的值.
19. 在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，．
（1）当时，求的值；
（2）求向量的夹角；
（3）求的取值范围．高一年级数学试卷
考试时间120分钟满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直接求解.
【详解】因为，，
所以.
故选:D.
2. 若，，的夹角为120⁰，则等于（）.
A. B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由数量积公式求解.
【详解】.
故选：A
3. 已知向量，，那么向量可以是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量共线的充要条件计算即可判断.
【详解】向量，，则存在，使得
故只有向量符合.
故选：A.
4. 是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则为、的中点，利用平面向量的线性运算可得出，即可得解.
【详解】设，则为、的中点，如下图所示：
所以，，
同理可得，所以，，
因此，.
故选：C.
5. 有关平面向量说法，下列正确的是（）
A. 若，，则B. 若与共线且模长相等，则
C. 若且与方向相同，则D. 恒成立
【答案】D
【解析】
【分析】根据零向量与共线向量的定义判断A，根据相等向量的定义判断B，根据向量的定义判断C，根据数量积的运算律判断D.
【详解】对于A：当，，，满足，，但是与不一定共线，故A错误；
对于B：若与共线且模长相等，则或，故B错误；
对于C：向量不能比较大小，故C错误；
对于D：根据向量数量积的运算律可知恒成立，故D正确.
故选：D
6. （）
A. 1B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】由利用两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B
7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设中点为，确定，为正三角形，再计算向量的投影得到答案.
【详解】设中点为，则，即，故边为圆的直径，
则，又，则为正三角形，
则有，
向量在向量上的投影向量，
故选：A
8. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（）
A. 9B. C. 12D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由勾股定理求出，再由向量数量积的定义式求出乘积即可.
【详解】由题意可知，，
设，由勾股定理可得，解得，
所以，所以，
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列说法正确的是（）
A. 的最小值为1
B. 若，则
C. 若，与垂直单位向量只能为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】AB
【解析】
【分析】对A：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C：举反例即可判断；对D:根据向量夹角是钝角，得到且向量与向量不反向共线，即可判断．
【详解】对A：，则当时，取最小值1，故A正确；
对B：若，则，解得，故B正确；
对C：若,易知也是垂直单位向量，故C错误；
对D：若与的夹角为钝角，则,，
且向量与向量不反向共线，即，解得且，故D错误；
故选：AB．
10. 下列化简结果正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用和（差）角公式计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：
，故D正确.
故选：BCD
11. 在中，下列说法正确的是（）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，，则为等边三角形
C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D. 若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由单位向量，向量垂直判断A,由夹角公式及模长判断B,由平面向量基本定理确定M位置判断C, 由三点共线及平面向量基本定理将表示为t的二次函数求最大值判断D.
【详解】对A,分别表示与同向的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量，
由，可得的平分线与垂直，
故是等腰三角形，故A正确；
对B, 由题意，,
则，，故，
又，则，即，
故为等边三角形，故B正确；
对C, 若点是边上的点，设，
则，即，
结合，知，则点是边上的靠近B的三等分点，
则的面积是面积的，故C错误；
对D，如图所示：
因为在上，即，，三点共线，
设，
又因为，所以，
因为，则，，
令，
时，取得最大值为．故D正确．
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，关键是利用三点共线及平面向量基本定理表示为t的二次函数解决D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，设，则的值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量的线性运算计算即可.
【详解】因为，所以，
则，
又因为，
所以.
故答案为：.
13. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则________________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，利用数量积公式直接计算即可．
【详解】依题意，，
则．
故答案为：2．
14. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为．已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用新定义得到关于，的方程，进而求得，，再利用基本关系式求得，从而利用整体法与余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】，，
所以，
所以，
同理可得,，所以，
解得，，
因为，所以，，
所以，，
所以
.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是平面上两个不共线的向量且
（1）若方向相反，求的值；
（2）若三点共线，求的值.
【答案】（1）2；（2）或
【解析】
【分析】（1）由得，再由向量相等可得答案；
（2）由题意知，即，再由向量相等可得答案.
【详解】（1）由题意知，，则存在，使得，即，
从而，得，或，又方向相反，则
（2）由题意知，，由三点共线得，，存在，使得，即，从而，得或，所以或.
16. 已知，，，求：
（1）；
（2）与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合数量积的运算律和模长公式运算求解；
（2）根据题意结合数量积的运算律和夹角公式运算求解.
小问1详解】
由已知，则，可得，
则，所以
【小问2详解】
设与的夹角为，
则，
且，所以与的夹角为．
17. （1）已知，，且及，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由平方关系求出，再利用两角和的正弦公式代入求解；
（2）将两式平方相加并利用平方关系和两角差的余弦化简求解即可.
【详解】（1）已知，，且及，
所以，，
所以
又及，所以，故；
（2）由，，
得，
，
相加得，
即，
所以.
18. 在平面直角坐标系中，已知向量，.
（1）若，，求的值；
（2）若与的夹角为且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直列式求得，再利用两角差的正切求值；
（2）直接利用数量积求夹角公式及辅助角公式可得，求得的值，则的值可求．
【小问1详解】
因为，且，
所以，，所以，
故；
【小问2详解】
因为，，
所以，，
，因为与的夹角为，
所以，即，
所以，因为，所以，
所以，所以.
19. 在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，．
（1）当时，求的值；
（2）求向量的夹角；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解.
（2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答.
（3）先根据表示出；再根据响亮的数量积运算得出；最后根据即可求解.
【小问1详解】
当时，
依题意知，，，.
则，.
因为，
，
.
所以.
因此.
因为，，，
所以，，
所以
【小问2详解】
由（1）知.
因为，，
所以；
.
则.
因为，，，
所以，
故向量的夹角为
【小问3详解】
由（2）可知：
，
.
则.
因为，，，
所以
由题意知，，
所以的取值范围是，
∴的取值范围是．