2024-2025学年广西南宁市高一数学下学期4月期中模拟试题（附答案）

这是一份2024-2025学年广西南宁市高一数学下学期4月期中模拟试题（附答案），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项．）
1. 已知是虚数单位，则（）
A. B. C. D.
2. 已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 如图所示，中，点D是线段BC中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）
AB. C. D.
4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（）
A. B. C. D. 1
5. 已知一个圆柱和一个圆锥底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）
A. B. C. D.
6. 已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（）
A. 0B. 1C. 2D. 4
7. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（）
A. B. C. D.
8. 在中，已知，则的形状一定是（）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分．）
9. 下列说法错误的是（）．
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 已知直线，平面，，，，，则
C. 已知直线，平面，，，则
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
10. 复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）
A. B. z的共轭复数为
C. z的实部与虚部之和为2D. z在复平面内的对应点位于第一象限
11. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（）
A. 最小正周期为B. 在区间上的最大值为
C. 图像的一个对称中心为D. 图像的一条对称轴为直线
12. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（）
A若，，，四点共面，则
B. 存在点，使得平面
C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值
D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题（每小题5分，共20分）．
13. 半径为2cm，圆心角为的扇形面积为.
14. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则______．
15. 在中，若，，，三角形有唯一解，则整数______．
16. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________．
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知平面向量满足，，与夹角为．
（1）求；
（2）当实数为何值时，．
18. 已知中，角所对的边分别为，且．
（1）证明：；
（2）若，求角的大小．
19. 如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.
20. 如图，现有一直径百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．
（1）设，试将管道总长（即线段）表示为变量θ的函数；
（2）求管道总长的最大值．
21. 已知锐角三角形的内角的对边分别为且．
（1）求角的大小；
（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．
22. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．数学答案
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项．）
1. 已知是虚数单位，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的四则运算法则即可得出结论.
【详解】.
故选：B.
2. 已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由空间中的线面关系，即可判断.
【详解】根据线面平行的判定定理可得，若，则，即必要性成立，
若，则不一定成立，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可
【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，
所以
,
故选：A
4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用在上的投影向量的定义求解.
【详解】解：由已知可得，在上的投影向量为，
又在上的投影向量，所以.
所以，D正确．
故选：D.
5. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，即可得解.
【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为，
由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，
则圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
则.
故选：B.
6. 已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可.
【详解】由是关于的方程的一个根，
则是关于的方程的一个根，
则，，
即，，则，
故选：D.
7. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图所示，
所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
8. 在中，已知，则的形状一定是（）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由
，
因为，所以，
所以有，或，或，
当时，有，此时有，
即，所以此时该三角形是等腰直角三角形；
当时，即，所以此时三角形是直角三角形；
当时，即，不符合三角形内角和定理，舍去，
综上所述：的形状一定是直角三角形，
故选：B
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分．）
9. 下列说法错误的是（）．
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 已知直线，平面，，，，，则
C. 已知直线，平面，，，则
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】ABC
【解析】
【分析】由立体几何公理判断AD，由面面平行的判定及线面关系判断CD．
【详解】对于A，过不共线的三个点有且只有一个平面，故A错误；
对于B，如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，由平面相交公理，可知D正确；
故选：ABC．
10. 复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）
A. B. z的共轭复数为
C. z的实部与虚部之和为2D. z在复平面内的对应点位于第一象限
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.
【详解】由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确.综上，正确结论是CD.
故选：CD
【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.
11. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（）
A. 最小正周期为B. 在区间上的最大值为
C. 图像的一个对称中心为D. 图像的一条对称轴为直线
【答案】AD
【解析】
【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质.
【详解】的图像向左平移个单位长度得函数，
再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，
其最小正周期为，A选项正确；
由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；
令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；
令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；
故选：AD.
12. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（）
A. 若，，，四点共面，则
B. 存在点，使得平面
C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值
D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用假设法即可判断A，利用线面平行判定即可判断B，利用棱锥体积公式即可判断C，求出外接球半径，找到球心位置即可判断D.
【详解】对A，由四点共面，得，则，
若不是棱的中点，则，故A错误.
对B，当是棱的中点时，取的中点，连接，则为的中点.
因为为的中点，则.
因为平面平面，所以平面，则B正确.
根据长方体性质知，且平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
则点，到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值，
则四棱锥的体积为定值，故C正确.
取棱的中点，由题中数据可得，
则，所以为等腰直角三角形，所以是外接圆的圆心，
外接圆的半径.设三棱锥的外按球的球心为，
半径为，设，则，
即，解得，则，此时点位于中点，
从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确.
故选：BCD
三、填空题（每小题5分，共20分）．
13. 半径为2cm，圆心角为的扇形面积为.
【答案】
【解析】
【分析】求出扇形的弧长,利用扇形面积公式求解即可.
【详解】因为半径为,圆心角为的扇形,弧长为,
所以扇形面积为:
故答案为.
【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用,考查计算能力，属于基础题.
14. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求，结合向量共线的坐标运算求解.
【详解】由题意可得：，
若B，C，D三点共线，可知，
则，解得.
故答案为：.
15. 在中，若，，，三角形有唯一解，则整数______．
【答案】1或4
【解析】
【分析】关键知道三角形有唯一解的充要条件是或，然后根据这个条件即可解得整数的值.
【详解】
如图：已知是边上的高，由三角形有唯一解的等价条件是或，
由，因为，所以，
又因为，根据唯一解的条件可知：或，解得或，
又因为为整数，,所以的值为1或4．
故答案为：1或4．
16. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积.
【详解】连接，取的中点，连接，
则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则，
则⊥平面，
因为正四棱台中，，，
故，所以，
设四棱台的高为，
故，解得，
故，
设，则，
，
故，解得，
故半径，
故该棱台外接球的表面积为.
故答案：
【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知平面向量满足，，与夹角为．
（1）求；
（2）当实数为何值时，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由代入计算即可；
（2）由题得列出方程，求解即可．
【小问1详解】
因为与的夹角为，
所以，
所以
．
【小问2详解】
因为，
所以
，
化为，解得．
18. 已知中，角所对的边分别为，且．
（1）证明：；
（2）若，求角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理与余弦定理化简即可得；
（2）借助正弦定理与余弦定理化简后可得，结合（1）中所得可得间的关系，再借助余弦定理即可得解.
【小问1详解】
由正弦定理及条件可得，
由余弦定理可得，
化简得；
【小问2详解】
由得，化简得，
又，故，所以，
故．
所以角A为.
19. 如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）作图见解析，截面面积
【解析】
【分析】（1）根据中位线得到线线平行，根据线面平行的判定定理得线面平行，再根据面面平行的判定定理可得面面平行.
（2）取的中点H，连，可证四边形为平行四边形，从而可得就是交线，求出和上的高，可得截面面积.
【小问1详解】
连，如图：
因为E、F分别是BC、DC的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
因为E、G分别是BC、SC的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
因为，且平面EFG，平面EFG，
所以平面平面.
【小问2详解】
取的中点H，连，
因为与HE交于正方体的中心，且互相平分，所以四边形为平行四边形，
则就是截面与正方体的交线，
过C作AE的延长线的垂线CM，垂足为M，连，
因为平面ABCD，面，所以，
因为且都在面内，所以平面，
又面，所以，
所以，
所以，
所以截面面积为.
20. 如图，现有一直径百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．
（1）设，试将管道总长（即线段）表示为变量θ的函数；
（2）求管道总长的最大值．
【答案】（1），，
（2）2百米
【解析】
【分析】（1）在和中，根据余弦定理即可求得；
（2）结合（1），对函数平方处理，可得，即可求得最值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
所以，，
∴将管道总长（即线段EC+ED）表示为变量θ的函数为：
，，
【小问2详解】
由（1）可得：
，因为，，所以，
（百米）
当且仅当，即时取等号，
因为，∴（百米）．
∴管道总长的最大值为2百米.
21. 已知锐角三角形的内角的对边分别为且．
（1）求角的大小；
（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，将等式中的边化为角，根据和角公式以及同角三角函数的商式公式，可得答案；
（2）法1：根据锐角三角形内角的性质，可得角的取值范围，利用正弦定理，用角表示边，将三角形的面积整理为三角函数，可得答案；法2：利用内切圆的性质得到内切圆半径关于角的表达式，利用三角恒等变换，结合锐角三角形内角的性质得到解的范围，从而得解.
【小问1详解】
，
由正弦定理，得，
，，
又，得，所以，即，
由，解得.
【小问2详解】
法1：
由题意可知，设，，
，又，，
在中，由正弦定理可得：．
即：，，
，
，，
，
所以三角形面积的取值范围为．
法2：
设内切圆半径为，由题知，D为内切圆的圆心，由面积公式，得
，所以①，
在中，由正弦定理可得：．
即：，所以，，
代入①式，结合积化和差，和差化积公式，得
，
由为锐角三角形，得，解得，
所以
，
，，
，
所以三角形面积的取值范围为.
22. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
【答案】（1）存在，或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用和差角公式化简函数，结合所给定义得到“相伴向量”，再求出与其共线的单位向量；
（2）依题意可得，再由辅助角公式化简，从而得到，再根据的范围求出的范围，最后根据二倍角公式及函数的性质计算可得.
【小问1详解】
存在，或.
因为
，
所以函数存在“相伴向量”，
所以与共线的单位向量为
或.
【小问2详解】
的“相伴函数”（其中），
因为在处取得最大值，
所以当，即时有最大值，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
令，，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以上单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为．