河北省衡水中学2025届高三下学期一模数学试题（PDF版附答案）

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11.BCD因为.
对于B，因为，
令，可得，其图象开口向上，对称轴为，
可知在内单调递增，且在内单调递增，
所以在上是单调函数，故B正确；
对于D，因为，
所以函数为周期函数，且是函数的一个周期，
只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域，
由，
则，
当时，，故，
此时，函数在上单调递增，
当时，，，
此时，函数在上单调递减，
所以当时，，
又因为，则，
则函数的值域为，故D正确.故选：BCD.
12. 13．
14．设粒子运动到(其中表示横坐标，纵坐标一样时的粒子坐标)时所用的时间分别为，则
相加得,所以，
又，故运动1980秒时它到点，
又由运动规律知中,奇数点处向下运动，偶数点处向左运动.
故到达时向左运动39秒到达，即运动2019秒时,这个粒子所处的位置的坐标.故答案为.
15．（1）若选择①②，
由可知，或，因此或，
结合可知，选择①②时，不存在；----------1分
若选择②③
由利用正弦定理可得，
又，可得，显然不成立，--------1分-
即选择②③，也不存在-----------------3分
若选择①③，利用正弦定理可得，即，
又，可得，此时存在；------------5分
所以可得；--7分（若直接选择了1,3，直接到7分）
（2）由可得，
由可得；------------10分
所以的面积为.-----------13分
16．（1）因为平面平面，平面平面，
又，所以平面.---------1分
因为平面，所以.
又因为折叠前后均有，，所以平面.----------3分
（2）由（1）知平面，所以二面角的平面角为.---4分
又平面，平面，所以.
依题意.因为，所以.----------5分
设，则.
依题意，所以，即.
解得，故，，.----------8分
（3）法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，.
由（1）知平面的法向量.------------10分
设平面的法向量
由得
令，得，，所以.------12分
所以.所以二面角的余弦值为.—---------15分
法2：因为平面，过点作交于，则平面.
因为平面，所以.
过点作于，连接，所以平面，因此.
所以二面角的平面角为.---------12分
由平面几何知识求得，，
所以.所以.
所以二面角的余弦值为.------------15分
17．（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为，
故，解得，所以双曲线E的方程为.-------3分
（2）由题意，过点的直线斜率存在且不为0，可设其方程为，
设，由，得，-------4分
联立，整理得，
由韦达定理得：，，-----------6分
联立解得，经验证均满足题意，所以直线的斜率为.--------8分
（3）点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数，
由，得，---------9分
所以，则，则，-----11分
由，得，----13分
所以，则，又因为直线交两支两点，故直线的斜率，所以.------15分
18（1）由题意得，将五进制数转化为十进制数为，
∵，∴，
∴五进制数转化成三进制数为------------2分
（2）①若，则位的二进制数有，，，，，，，，共个，从个数中任选2个，共有种情况.--------3分
∵，∴的所有可能取值为.-------4分
当时，若选择，可以从，，中任选1个，共有3种情况,
若选择，可以从，，中任选1个，共有3种情况,
若选择，可以从，中任选1个，共有2种情况,
若选择，可以从，中任选1个，共有2种情况,
若选择，可以从，中任选1个，共有2种情况，
共有种情况，故.------6分
当时，和，和，和，和满足要求，共有4种情况，故，-------7分
∴，--------8分
∴随机变量的分布列为
∴.-----------9分
②∵位二进制数的，
根据二进制数中0的个数可得，位二进制数一共有个，--10分
∵，∴的可能取值为.
当时，二进制数，有位取值不同，有位取值相同，
除去，从剩余的位中选择位，二进制数，在这位上数字不同，其余位，两者均在同一位置数字相同，
由于，故共有种情况，---------12分
∴，--------13分
∴随机变量的分布列为
∵，---14分
∴
，∴.---------17分
19．(1)解：法一：由，且化简得，即，
令，可知在上单调递增，------1分
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，显然在上单调递减，
所以，即，故实数的取值范围为.--------3分
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故问题转化为恒成立.--------1分
又，则恒成立，即恒成立，
因为，
故令，显然在上单调递减，
所以，所以，故实数的取值范围为.-----3分
（ii）证明：要证，即证，
即证，---------4分
又，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
，--------5分
.--------6分
由题意知，当时，在上单调递增，
则，故，
即，所以命题得证.-----9分
（2）函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根.---------10分
令，
所以在上单调递增，且，即方程有2个根，------11分
且这两根即为方程的根，
所以，则，则由，得，
所以，则，
要证，即证，---------13分
又，令，
令，
又，所以，故在上单调递增，
所以，
所以，故在上单调递减，所以，-----16分
即，
即，所以不等式得证.------17分1
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2
3