山东省潍坊第一中学2024−2025学年高二下学期第二次质量检测 数学试题（含解析）

这是一份山东省潍坊第一中学2024−2025学年高二下学期第二次质量检测 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
3．若数列的通项公式为，则（ ）
A．27B．21C．15D．13
4．有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（ ）
A．B．C．D．1
5．如图给出一个“直角三角形数阵”满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，则第8行第3列的数为（ ）
A．B．C．D．1
6．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为
A．B．C．D．
7．等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
8．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则 D．若和都为递增数列，则
11．爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则（ ）
A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C．表演成功的环节个数的期望为3
D．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
三、填空题（本大题共3小题）
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2025个三角形数与第2024个三角形数的差为 .
13．在某市年月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的全市理科学生约人.某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第 名.
（参考数值：，，）
14．已知函数满足，则满足的最大正整数的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前多少项和最大．
16．随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准.已知某公司生产不同规格的一种产品，根据检测精度的标准，其合格产品的质量y（）与尺寸x（）之间近似满足关系式（b，c为大于0的常数）.现随机从中抽取6件合格产品，测得数据如下：
根据测得数据作出如下处理：令，得相关统计量的值如下表：
(1)根据所给统计数据，求y关于x的回归方程；
(2)若从一批该产品中抽取n件进行检测，已知检测结果的误差满足，求至少需要抽取多少件该产品，才能使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545？
附：①对于样本，i）（i=1，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.②，则
17．在数列中，，是其前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
18．某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.
(1)求某顾客摸出红球的概率；
(2)设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.
19．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意可知，恰有一套机制失效的概率为.
故选C.
2．【答案】A
【详解】因为随机变量服从正态分布，，
所以，
.
故选A.
3．【答案】A
【详解】因为，所以，
故选A.
4．【答案】C
【详解】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布，
则，，，
所以.
故选C.
5．【答案】C
【详解】解：因为第1列是首项为，公差为的等差数列，
所以第8行第1列的数为，
又第8行是首项为2，公比为的等比数列，
所以第8行第3列的数为，
故选C.
6．【答案】A
【详解】设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.故选A.
7．【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以，所以，因为，可得，
所以，
所以，
所以，，
即数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，
因此.
故选B.
8．【答案】B
【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.
【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，
因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件，
其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为，
同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为，
所以每一轮甲得分低于3分的概率为，
设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分，
则，，
事件可分三类情形：
①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为；
②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为；
③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为.
所以，
即.
故选B.
9．【答案】AD
【详解】A：因为随机变量，且，所以，故A正确；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确；
故选：AD.
10．【答案】BC
【分析】根据题意，求得，结合，A错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B正确；由，求得，C正确；根据题意，求得任意的，结合的正负不确定，D错误．
【详解】对于A中，由，，
可得，所以，
又由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，
又因为，则，所以C正确；
对于D中，因为为递增数列，可得公差，
因为为递增数列，可得，
所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．
故选BC.
11．【答案】BCD
【分析】根据互斥事件的概念判断A；根据相互独立事件的乘法公式判断B；根据二项分布的期望公式判断C；根据条件概率的计算公式判断D.
【详解】对于A，事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”可以同时发生，故不互斥，故A错误；
对于B，“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为，故B正确；
对于C，记表演成功的环节个数为X，则，期望为，故C正确；
对于D，记事件M：“表演成功的环节恰为3个”，事件N：“迎新春环节表演成功”，
，
由条件概率公式，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】2025
【详解】
设三角数从最开始的数为第个数为
归纳可知，所以.
13．【答案】
【详解】考试的成绩服从正态分布，所以，，，
所以，，则，
数学成绩为分的学生大约排在全市第名.
14．【答案】12
【详解】，
所以数列是公比为2的等比数列，
所以所解不等式为：
当时，则，
可解得：
的最大值为12，
当时，符合要求，
当时，不符合要求，
因此的最大值为12，
15．【答案】(1) (2) 前16项的和最大
【详解】解：（1）当时，；当时，；
所以：；
（2）因为；
所以前16项的和最大．
16．【答案】(1)
(2)800
【详解】（1），，所以，即，整理为：，所以y关于x的回归方程为
（2）因为，，所以，要想使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545，则满足，解得：，即至少需要抽取800件该产品，才能使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得①，
当时，，解得，
当时，②，
由①-②：
即
整理得
即
又∵，∴
∴，
∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，
故.
（2）
∴
∴
∴.
18．【答案】(1)；
(2)192（元）.
【分析】（1）根据互斥事件加法公式及古典概型概率计算公式进行计算即可；
（2）求出家庭每个人获得的奖金的期望，根据进行计算即可.
【详解】（1）设“从甲箱中摸出黑球”，“从甲箱中摸出白球”，“从乙箱中摸出红球”，“某顾客摸出红球”，则.
因为，
所以.
（2）设该家庭每个人获得的奖金为元，则的取值可能为，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为
（元）.
又因为，所以（元）.
19．【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析，（ii）
【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），,
，，.
（i）,
即,
整理可得，,
是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i）知：,
，，……，.
作和可得：,
,
.
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
尺寸x（〕
38
48
58
68
78
88
质量y（〕
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
75.3
24.6
18.3
101.4
0
90
180