广东省惠州市泰雅实验高中2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析）

这是一份广东省惠州市泰雅实验高中2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若函数在处可导，则（ ）
A．B．C．D．
2．用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．652B．648C．504D．562
3．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．1
4．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（ ）
A．18种B．20种C．24种D．120种
6．设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高.目前中国大众穿汉限的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类.某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，每类场景至多选2张，则8张照片中恰有两类照片是2张的不同的选择方案种数为（ ）
A．252B．105C．357D．324
8．已知，则变动时的最大值与最小值的乘积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某品牌旗下的某款电动汽车在一次上路测试中，速度v关于运行时间t（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（ ）
A．该车速度在前8分钟内的平均变化率为0
B．该车速度的瞬时变化率逐渐减小
C．该车速度的瞬时变化率在前8分钟内平均变化率为0
D．可以用该车运行5分钟到5.01分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度
10．已知n是正整数，则（ ）
A．B．C．D．
11．下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有 种不同的排法．
13．已知函数，，则的最小值为 .
14．曲线与曲线公切线斜率的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，曲线在处的切线斜率为2.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
16．（1）解方程：
（2）计算．
17．已知函数．
(1)讨论的极值点个数；
(2)若，证明：．
18．在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个.
(1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数；
(2)求这n个点能确定的直线的条数；
(3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数.
19．已知函数，.
(1)求的最小值；
(2)已知曲线和直线交于A，B两点，设坐标原点为O.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，讨论与的大小关系，并说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为函数在处可导，
所以，
故选B.
2．【答案】B
【详解】用0，1，…，9十个数字，
先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。
所以可以组成无重复数字的三位数的个数为.
故选B.
3．【答案】D
【详解】由题意可知，，，
因为的图像在点处的切线与直线垂直，
所以，即，解得.
故选D.
4．【答案】D
【详解】因为所以A选项错误；
因为，所以B选项错误；
因为，所以C选项错误；
因为，所以D选项正确.
故选D.
5．【答案】A
【详解】将4个相同的商品分成两个组有两种不同的分法，即1，3分组或2，2分组，
当1，3分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有，
当2，2分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有，
故有且仅有2个货架上有商品的放法有.
故选A.
6．【答案】B
【详解】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以.
故选B.
7．【答案】B
【详解】由题，先从7类照片中选2类，有种方法；
再选剩下4张，有种方法，则共有种方法.
故选B.
8．【答案】D
【详解】因为，故，
设，则，
故当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
而当时，且，，
故，，故变动时x的最大值与最小值的乘积为，
故选D.
9．【答案】AD
【详解】对于A，该车速度在前8分钟内的平均变化率为，故A正确；
对于B，该车速度的瞬时变化率为在上为增函数，故B错误；
对于C，该车速度的瞬时变化率为，其在前8分钟内平均变化率为2，
故C错误；
对于D，该车在时的瞬时速度为，
而该车运行5分钟到5.01分钟之间的平均速度为，故D正确.
故选AD.
10．【答案】AB
【详解】，故A正确；
，，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选AB.
11．【答案】ACD
【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应，
逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于x轴的直线最多只有一个交点，
所以函数的图象与任一斜率为1 的直线都最多只有一个交点，
结合函数图象可知，
对于A，的图象与直线都只有一个交点，故A正确；
对于B，的图象与直线有两个交点，故B错误；
对于C，，，，
所以的图象，在点处的切线方程为，
的图象与直线都最多只有一个交点，故C正确；
对于D，的图象与直线都只有一个交点，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】1280
【详解】完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法计数原理，分步进行：
第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，
依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，
所以共有种不同的排法.
13．【答案】
【详解】因为，令，可得，而，，
所以，，函数单调递减；，，函数单调递增，
所以时函数最小为值，
所以函数在的最小值分别为.
14．【答案】
【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为，
求导得，，则，且，
由，两边取对数整理得：，代入，可得，
令，求导得，
则当时，，当，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以斜率的最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以，
由题意可得，所以，
所以，所以.
所以.
（2）由（1）知，所以，
所以在上单调递增，
，
所以为奇函数，
，即，
即，
所以，即，
即，解得,
所以不等式的解集为.
16．【答案】（1）10；（2）252
【详解】（1）因为，所以.
又因为，所以，解得．
（2）法一：
.
法二：原式.
17．【答案】(1)当时，无极值点；当时，有一个极小值点，无极大值点.
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，故为上的增函数，
故无极值点；
当时，，
而在上为增函数，故在上为增函数，
当时，，
而，故在上存在一个零点，
且当时，；当时，，
故为的极小值点，
综上，当时，无极值点；当时，有一个极小值点，无极大值点.
（2）时，即为，而，
故原不等式即为，下证该不等式成立，
设，则，
故在上为减函数，故即在上恒成立，
故在上恒成立.
18．【答案】(1)120
(2)63
(3)518
【详解】（1）点的横、纵坐标均有4种可能，则，
所以所求线段的条数为.
（2）如图，在这个点中，仅有4点共线的直线有9条，
仅有3点共线的直线有6条，
所以这个点能确定的直线的条数为
（3）从这个点中选出3个点，共有种选法.
在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为.
19．【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）答案见解析，理由见解析
【详解】（1）单调递增，且，
单调递减；单调递增；
所以.
（2）（ⅰ）令函数，则.
若，则，在R上单调递增，至多有一个零点，矛盾，故舍去；
当，，单调递减；单调递增；
若，即，此时至多一个零点，矛盾，舍去；
所以，即.
（ⅱ）此时，，
不妨设，，，
又在上单调递减，在上单调递增，
因此在和上各有一零点，
所以或，即.
令，，所以在R上单调递减，
所以时，，即，
时，，即.
若，则，，所以；同理，，.
所以时，.
时，.
综上所述，时，；时，.