备战2025年中考数学压轴专项(江苏专用)压轴专题17新定义问题(学生版+解析)练习

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例题1对于平面直角坐标系中的定点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得点与点关于直线对称，则称点是点关于图形的定向对称点．
(1)如图，，，
①点关于点的定向对称点的坐标是___________．
②在点，，中，___________是点关于线段的定向对称点．
(2)直线：分别与轴，轴交于点，，⊙是以点为圆心，为半径的圆．当时，若⊙上存在点，使得它关于线段的定向对称点在线段上，求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)满足条件的的取值范围是或．
【分析】（1）①求出点关于直线的对称点即可；②由题意，满足条件的点在以为圆心2为半径的圆上（图中弧），由此判断即可；
（2）分，，求出两种特殊位置的值即可；如图所示，当时，作关于轴的对称图形 ⊙，当直线与⊙在第三象限相切时，设切点为，连接；如图所示，当时，以为圆心，4为半径作⊙，当直线与⊙在第四象限点相切于点时，连接，分别求出的值即可解决问题．
【详解】（1）①如图1中，
∵，，
∴点关于直线的对称点，
故答案为：；
②如图2中，
由题意得：，
满足条件的点在以为圆心2为半径的圆上（图中弧），
∴点是点关于线段的定向对称点，
故答案为：
（2）如图3，
当时，作关于轴的对称图形 ⊙，当直线与⊙在第三象限相切时，设切点为，连接，
由题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
同理，直线与⊙在第二象限相切时，直线解析式为：，
由图可知：满足条件的的取值范围是；
当时，以为圆心，4为半径作⊙，当直线与⊙在第四象限点相切于点时，连接，
∴，
∴直线解析式为：，
当直线与⊙相切时，此时直线解析式为：，
由图可知：满足条件的的取值范围是；
综上所述：满足条件的的取值范围是或．
【点睛】考查了定向对称点的定义，直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题．

1．对于一个两位数，，记，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为的十位数字和个位数字，新形成的两位数叫做m的伴生和差数，把m放置于十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为 ，若M能被7整除，则的最小值为 .
【答案】 1101 /0.5
【分析】本题为新定义问题，考查了整式的加减，分数加减的逆用等知识，根据题意用、写出四位数的表达式，根据、的范围，可得最小的，因为能被7整除，所以可知和的取值，即得的最小值．
【详解】解：∵两位数的十位数字是，个位数字是，两位数的十位数字是，个位数字是，
四位数，
∴当，时，最小，，
∵能被7整除，，
，时，，
，时，，
，时，，
，时，，
由题意得，，
∴最小，
即最小，
，时，．
故答案为：1101，
2．定义：在平面直角坐标系中，若、的坐标分别为、，则称为若、的“绝对距离”，表示为．
【概念理解】
（1）一次函数图像与轴、轴分别交于、点．
①为_______；
②点为一次函数图像在第一象限内的一点，，求的坐标；
③一次函数的图像与轴、分别交于、点，为线段上的任意一点，试说明：；
【问题解决】
（2）点、为二次函数图像上的点，且在的右边，当时，．若，求的最大值；
（3）已知的坐标为，点为反比例函数图像上一点，且在的右边，，试说明满足条件的点有且只有一个．
【答案】（1）①9；②；③见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）①由得，，即得；
②设，由N在第一象限得，根据得：，即可解得，；
③由中，得，由得，设，，即得，，从而证明；
（2）将代入得，即知二次函数为，当时，，可解得或，根据Q在P的右边，可得，又，有，即，，二次函数为，则，因，所以，即得，故的最大值为；
（3）设点的坐标为，依题意可知：，得出，分类求出m的值即可得出答案．
【详解】解：（1）①在中，令得，令得，
，，
；
②设，
在第一象限，
，
解得，
由得：，
，
解得，
；
③证明：如图：

在中，令得，
，
由得，
，
设，
为线段上的点，
，
∴，
，
；
（2）将代入得：，
，
二次函数为，
当时，，
解得或，
在P的右边，
且，
，
，
，即，
，
二次函数为，
，
，
，即，
，
，
的最大值为；
（3）设点的坐标为，依题意可知：，
所以，
若，即，，所以（舍去）或，
若，即，，所以（舍去）或（舍去），
所以，满足条件的点有且只有一个，是．
【点睛】本题考查函数综合应用，涉及新定义、去绝对值、二次函数性质等知识，解题的关键是读懂“绝对距离”的定义，根据已知确定字母范围去绝对值．
3．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．
例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，
是“合和数”．
又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，
不是“合和数”．
（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
【答案】（1）不是“合和数”，是“合和数，理由见解析；（2）有，，，．
【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的．
【详解】解：（1）
不是“合和数”，是“合和数”．
，，
不是“合和数”，
，十位数字相同，且个位数字，
是“合和数”．
（2）设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，），
则．
∴．
∴（是整数）．
，
，
是整数，
或，
①当时，
或，
或．
②当时，
或，
或．
综上，满足条件的有，，，．
【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
4．二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解．
【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，
∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②画出草图，
由图象知，这条抛物线的解析式只能是；
故答案为：；
③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，
由题意可知△PMA≌△A，
得 (3m，0)，所以 (3m，)，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴=m或=m，
解得m=1或0，
当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴m=1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
5．在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”．
(1)如图，点P（-1，0）．
① 已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是 ；
② 以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线 y = x + b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；
(2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．
【答案】(1)① ，；②b的取值范围是
(2)
【分析】（1）①根据“对称封闭图形”的定义判断即可；
②记点P，O关于直线的对称点分别为，，先求出直线、直线的解析式，再根据图象找到当直线随着b的变化上下平移时的临界情况，解答即可；
（2）根据题意，确定出当三角形MON为等腰直角三角形且∠MON=90°时r最小，作MN关于直线的对称图形，用勾股定理求出的长度即可．
【详解】（1）解：①线段PO关于y轴对称图形为线段，即线段在图形W内（包括边界），
其中，P（-1，0），（0，1），
故图形W1及W3，符合题意，
故答案为：，．
②记点P，O关于直线的对称点分别为，，则直线垂直平分线段和，因此直线的解析式为，直线的解析式为，由于线段PO在x轴上，故关于直线的对称后，⊥x轴．
如图，当直线随着b的变化上下平移时，临界情况是：
当点P对称后得到在上，即（1，）时，中点为（，0），此时；
当点O对称后恰好为（2，2）时，中点为（1，1），此时.
依题意，b的取值范围是．
（2）解：由题意知，当三角形MON为等腰直角三角形且∠MON=90°时r最小，
由Q点坐标知，Q点在直线上运动，
作线段MN关于直线的对称图形，则r≥，
取MN中点E，中点为G，连接EG交直线于F，连接，如图所示，
∵MN=2，
∴OE=1，
设直线交坐标轴于P、S，则PS=8，
∴OF=4，
由对称知，EF=GF=5，，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义的问题，需要借助轴对称图形的性质、一次函数性质、勾股定理等知识点解题．解题关键是正确理解题意，作出符合题意的图形．
6．我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，，则我们称与互为“旋补比例三角形”．
（1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，①________，②___________；
（2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形；
（3）如图3，在中，，点在轴的正半轴上，，点在第二象限，，抛物线经过点，与轴交点为， (点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）①；②
（2）见解析
（3），．
【分析】（1）根据题意直接可得出结论；
（2）结合旋补比例三角形的定义，找出，即可；
（3）结合题意，分析出为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一线三垂直”构造全等，得出结论．
【详解】（1）由题意可知：，
（2），，
和互为旋补比例三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
与互为旋补比例三角形．
（3），，
，过作轴于点，
，，
，
经过与，
，对称轴为直线，
与互为旋补比例三角形，
，，
，，
如图，过点作于点，
，，即点与点重合，
，即为等腰直角三角形，
为以点为顶点的等腰三角形，
，
，
①在轴上方，如图：
易证：，
，，
，，
②在轴下方，如图：
易证：
，，
，，
综上，，．
【点睛】本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干中给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查了对二次函数解析式的求解，以及与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键的．
7．党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点为“高质量发展点”．
(1)若点是反比例函数（为常数，）的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式；
(2)若函数（为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求的取值范围；
(3)若二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令，当时，有最大值，求的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）将代入得到关于 的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于的另一个方程，解方程组即可；
（2）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，依据题意可得含 的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根对应，即可求出的取值范围；
（3）设设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得含 的一元二次方程，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知对应方程两根相等，即，得出 的关系式，从而由变形为关于 的函数，根据函数性质分情况讨论最值即可．
【详解】（1）解：将代入，得： 即 ，
又∵是“高质量发展点”，故，
解方程组 得： 或，
则这个反比例函数的解析式为或．
（2）解：设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，
将代入得：，
整理得： ，
由函数（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：方程有两个不相等的实根，
即 ，
解得： ，
且由韦达定理可知的两根之和为2，两根之积为 ，
∵这两点都在第一象限，
∴ ，
解得： ，
综上可得：．
（3）解：设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得，
整理得，
根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知：方程两根相等，即，变形得：，
∵，
∴，
由抛物线性质可知：抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点 ，
当时，w有最大值，
分情况讨论最值情况：
（1）当即 时，函数自变量取值在对称轴右侧，图像下降，故当 时w有最大值，即，化简得：，得：，
，故舍去，
；
（2）当且，即 时，函数的自变量取值范围包括了顶点，即当，w有最大值，
解得：，
；
（3）时函数自变量取值在对称轴左侧，图像上升，此时w最大值当时取得，即：，
整理得： ，
解得，
，
故均不合要求，此时无解；
综上分析可得：或．
【点睛】本题结合新定义综合考查了二次函数的性质，关键是运用新定义设坐标结合二次函数增减性变化及最值取得的条件建立新的二次函数，第3问运用分类讨论可条理清晰解决问题．
8．对于任意一个四位数，如果满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数为“双减数”．对于一个“双减数”，将它的千位和百位构成的两位数为，个位和十位构成的两位数为，规定：．例如：．因为，故7028是一个“双减数”，则，
(1)判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出的值；
(2)若自然数为“双减数”，是3的倍数，且各个数位上的数字之和能被13整除，求的值．
【答案】(1)9527不是双减数，6713是双减数，
(2)5602
【分析】（1）根据双减数的定义判断并求值即可．
（2）设，根据双减数的性质可推导得，再分两种情况讨论即可：1）当时；2）当时．
【详解】（1）解：9527百位上的数字与十位上的数字之差是3，千位上的数字与个位上的数字之差是2，不满足百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，故不是双减数；
6713百位上的数字与十位上的数字之差是6，千位上的数字与个位上的数字之差是3，满足百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故 6713是双减数；
故9527不是双减数，6713是双减数，．
（2）解：设
由题意可知，是3的倍数，且各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍
故可得
（n为正整数，能被13整除说明是13的倍数）
由③式可得知，的结果中，个位数是十位数的两倍，而且
，（说明是36的倍数）
根据“双减数”各位数不重复与的性质，最大为98，最小为10
最大为88
36或72（舍去）（根据双减数百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除）
即
将④⑤代入②可得
同理，根据“双减数”的性质可得的最大值为，最小值为
是13的倍数
只能取13或26
1）当时
可得
d与c的值可能为， （舍去），（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除）
即
2）当时
可得
（舍去）（由于不为整数，与题意不符，故舍去）
【点睛】此题考查了新定义下的实数运算问题，解题的关键是根据新定义的运算规则求解．
9．【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记，则称是直线l与抛物线C的“截积”．
【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为．
(1)若抛物线C的函数表达式为，分别求出点M，N的坐标及的值；
(2)在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)设抛物线C的函数表达式为，若，，且点P在点Q的下方，求a的值．
【答案】(1)
(2)为定值，证明见解析
(3)或
【分析】（1）联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组求解M，N的坐标，再求解Q的坐标，MN，PQ的长度，再进行计算即可；
（2）如图， 先求解为：由在上，设 求解 设 则两点坐标为：的解，再利用根与系数的关系及勾股定理求解，再利用新定义进行计算即可；
（3）先求解 如图，由点P在点Q的下方，则 由抛物线可得： 过作的平行线与轴交于 同理可得的解析式为： 求解 结合（2）的结论可得 利用 再列方程求解即可.
【详解】（1）解：如图，由题意得：
解得：或


而抛物线的对称轴为： 代入一次函数解析式，此时
抛物线的顶点

（2）解：如图，抛物线的顶点P平移到，而
设为： 则 所以
所以为：
由在上，设
平移后的抛物线为：
则
设 则两点坐标为：的解，
整理方程组得：

又



为定值.
（3）解： ，，

如图，由点P在点Q的下方，则
由抛物线可得：
过作的平行线与轴交于 同理可得的解析式为：

由（2）同理可得：
即
平移后的抛物线的顶点为 解析式为：
整理得：




解得：或
【点睛】本题考查的是一次函数与抛物线的交点坐标问题，新定义的理解，一元二次方程根与系数的关系，理解新定义，熟练的运用已经推导得到的结论进行解题是关键.
10．x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x＋3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x＋3是1≤x≤2上的闭函数．
(1)请说明是1≤x≤30上的闭函数；
(2)已知二次函数y＝x2＋4x＋k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
(3)在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)k＝1，t＝﹣3
(3)
【分析】（1）根据，可判断 随 的增大而减小，由题意可得出反比例函数是上的闭函数；
（2）根据二次函数的性质和题意可求出k和t的值；
（3）由抛物线解析式得到点的坐标，再由两点间距离公式表示出 三边的长度，由勾股定理的逆定理得出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）∵
∴当时， 随 的增大而减小
∴当时，
当 时，
∴
∴反比例函数是上的闭函数；
（2）∵对称轴为，
∴二次函数在上随的增大而减小
∵二次函数是上的闭函数
∴当时，；当时，

解得
∵
∴，应舍去
∴ ；
（3）由（2）知，抛物线解析式为：
由二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，得
A（﹣2，﹣3），C（0，1）
设B（﹣3，a），
由两点间距离公式，得，，
①当∠ABC＝90°时，由勾股定理得
，即
解得
；
②当∠ACB＝90°时，由勾股定理得
，即
解得
不满足条件，应舍去；
③同理，当∠BAC＝90°时也不满足条件．
综上所述，△ABC的腰长为．
故答案为：．
【点睛】本题属于函数的综合题目，涉及新定义题型，主要考查了反比例函数的性质、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是准确理解闭函数的定义及分类讨论．
11．在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答．
【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表：

①补全表格；
②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象．
【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式．
【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【答案】（1）①；②见详解；（2）①；②抛物线；（3）为或．
【分析】（1）①用和合对称二次函数图像与轴交点相同即可求解；
②用圆滑的曲线，按描点画图的要求作图即可；
（2）①当时，抛物线，可求其与轴交点和顶点坐标，设抛物线，两个二次项系数之和为，对称轴相同，联立方程组，求解，确定抛物线，求其顶点坐标，则；
②设抛物线，求两个函数与轴的交点，利用横坐标相等，可得，从而确定抛物线，求其顶点坐标，利用其横、纵坐标互为相反数，求解，即可确定抛物线；
（3）由题可设抛物线，将两个抛物线化成顶点式，表示其顶点坐标，当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点，列式可得 或，验证时，不满足条件．
【详解】解：（1）①∵和合对称二次函数图像与轴交点相同，
∴坐标与坐标相同，同为；
②描点画图即可，如下图

（2）①当时，抛物线，
与轴交点为，
，
∴顶点坐标为，
设抛物线，
则，
解得，
∴抛物线，
当时，，
∴坐标为，
∴；
②抛物线，
与轴交点为点为，
则设抛物线，
与轴交点为点为，
∴，
抛物线，
∴，
∴顶点为，
∵其横、纵坐标互为相反数，
，
∴抛物线；
（3）抛物线，
∴其顶点为，
则抛物线，
∴其顶点为，
当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点，
∴，
解得，
当时，两个抛物线与只有一个交点，不满足条件，
∴为或．
【点睛】本题是新定义的“和合对称二次函数”，主要考查二次函数的图象和性质、描点作图、四边形面积、多次用到待定系数法求函数，读题理解“和合对称二次函数”等概念是解题关键．
12．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．
(1)求证：若为的“不动点”，则为的“稳定点”；
(2)若．若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为和，即，，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据新定义，将代入即可证明；
（2）先计算函数有实数根时，的取值范围；再根据，得方程，讨论和时方程根的情况，即可得到此时的取值范围；最后将所有的取值范围综合考虑，即可作答．
【详解】（1）证明：为的“不动点”
为的“稳定点”
（2）且
集合中的是方程的实数根
当时，将代入方程：中，
解得：
当时，由于方程有实数根，即有实数根
可得：
解得：
且
集合中的是方程的实数根，即的实数根
存在“不动点”和“稳定点”且“不动点”为方程的实数根
方程必然含有一个因式
即：
由于，要使方程有解，则分情况讨论：
第一种：有实数根，无实数根
即：，解得：
第二种：有实数根，也有实数根，且两根相等
等式两边同乘以，得：
将代入，得：
解得：
将代入中，得：
解得：
所以综上所述，的取值范围为：．
【点睛】本题考查了函数的概念、根据判别式判断一元二次方程根的情况、解不等式以及新定义的理解和运用，解题的关键在于理解新定义．
13．如图，已知直线：，点在直线上，是过定点的一簇直线．嘉淇用绘图软件观察m与n的关系，记过点B时的直线为．

(1)求的值及的解析式；
(2)探究m与n的数量关系：当与y轴的交点为时，记此时的直线为，嘉淇发现无论是还是，m和n总满足一定的关系，求出这个关系(用m来表示n)．
(3)当直线与直线的交点为整点(横、纵坐标均为整数)，且m的值也为整数时，这些点才称为“美好点”．
①嘉淇用绘图软件在图中框住一个正方形视窗)，在所看到的视窗区域，求能出现“美好点”时m的值；
②在①中视窗的大小不变情况下，改变其可视范围，且变化前后原点O始终在视窗中心．现将图2中坐标系的单位长度变为原来的，使得在视窗内能看到所有“美好点”，直接写出k的最小整数值．
【答案】(1)
(2)
(3)①0或或②3
【分析】（1）根据坐标与图形及待定系数法，即可求解；
（2）首先利用待定系数法，即可求得的解析式，即可求得与的交点A的坐标，再利用两点间距离公式，即可求得；
（3）①根据当，时，可得上的整点为，，，，再根据“美好点”的定义，即可求解；
②设直线上的任一整点为，则，可得，再由，均为整数，可得上满足条件的点为，，，，，，据此即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，解得；
∴
将，分别代入中，
得，
解得，
的解析式为；
（2）解：过定点，则，
，
即m和n满足的关系为：；
（3）解：①∵
∴
当，时，上的整点为，，，
当过时，将代入得：，
，此时是“美好点”；
当过时，将代入得：，
，此时不是“美好点”；
当过时，将代入得：，
，此时是“美好点”；
当过时，将代入得：，
，此时是“美好点”；
综上，的值为0或或；
②的最小整数值为3．
补充理由如下：
设直线上的任一整点为，代入得：，
，
，
，
∵，均为整数，
∴是4的约数即或或，
即或或0或2或3或5，
当时，，对应“完美点”是；
当时，，对应“完美点”是；
当时，，对应“完美点”是；
当时，，对应“完美点”是；
当时，，对应“完美点”是；
当时，，对应“完美点”是；
上满足条件的“完美点”为，，，，，
∵
∴若这些点全部出现在视窗中，的最小整数值为3．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，理解“美好点”的定义和条件是解决本题的关键．
14．函数的图象称为“类抛物线T”，已知“类抛物线T”经过原点，．
(1)求m，c的值；
(2)当时，
①若点B在“类抛物线T”上，判断是否可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形？并说明理由；
②，是“类抛物线T”上的任意两点，其中，．试探究是否存在实数b，使得当时，始终有x1＋x2＜0，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形，理由见解析；②存在实数，使得，，当时，始终有
【分析】（1）将和代入函数解析式求出c、m的值即可；
（2）①如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，证明，得出，，求出，将代入中，求出，与矛盾，得出不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形；
②根据，，且当时，始终有，得出，，设点N关于y轴的对称点为P，根据点N在抛物线上，得出点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，与抛物线交于点，得出时，函数在上随x的增大而增大，根据题意得出，求出即可．
【详解】（1）解：将原点代入中，
解得，
将代入中，则有，
解得
∴，.
（2）解：①不可能；理由如下：
如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，如图所示：

∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将代入中，得，
解得．
∵，矛盾，
∴不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形．
②∵，，且当时，始终有，
∴，，
设点N关于y轴的对称点为P，
∴，
∵点N在抛物线上，
∴点P在抛物线上，
过点P作x轴垂线，与抛物线交于点．
∵函数在上随x的增大而增大，
又∵，
∴当时，函数在上随x的增大而增大，
∵，
∴，又，
∴，
∵点在抛物线上，在抛物线上．
∴当时，抛物线在抛物线上方，
即在上，，
整理得，在成立，
∵，
∴，要使得，
只需当时，，即，
解得：，
综上所述存在实数，使得，，当时，始终有．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出相应的辅助线，数形结合．
15．【定义新知】
定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
(1)如图1，在5×4的方格中，点A、B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使得是邻余线，点E、F在格点上；
【问题研究】
(2)如图2，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长；
【问题解决】
(3)如图3是某公园的一部分，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点E在上，是一个人工湖，是湖上的一座桥，现公园规划人员要在桥上修建一个湖心亭M，若的延长线与OB的交点为F，按规划要求M是的中点．已知米，米，米，，且四边形始终是以为邻余线的邻余四边形．规划人员经过思考后，在图纸上找出的中点N，连接，与的交点分别是点F和点M的位置．请问，按照规划人员的方法修建的湖心亭M是否符合规划的要求？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)符合要求，理由见解析
【分析】（1）利用网格的特征得到，即可得邻余四边形；
（2）延长相交于点P，利用邻余四边形的性质得到，推出是等腰直角三角形，设，再利用勾股定理列式计算即可求解；
（3）证明四边形是菱形，根据已知条件证明，由，证明，推出，据此求解即可．
【详解】（1）解：邻余四边形如图所示，
；
（2）解：延长相交于点P，
∵四边形是以为邻余线的邻余四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，，
由勾股定理得，即，
整理得，
解得，(舍去)，
∴；
（3）解：∵四边形始终是以为邻余线的邻余四边形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵米，，米，的中点N，
∴米，米，米，米，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，理解邻余四边形的性质是解题的关键．
16．二次函数的图象交轴于原点及点．
【感知特例】
(1)当时，如图1，抛物线：上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
【探究问题】
(2)①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为______；
②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，直接写出的值______；
③在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________．
【答案】(1)①；②见解析；
(2)①；②；③
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，设符合条件的抛物线M的解析式为，，再由抛物线M与有唯一交点，分两种情况：当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，此时符不符合题意；当时，有，根据当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m取任意实数时，上述等式成立，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：①∵点与点关于点A中心对称，
∴点A的坐标为，即，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）解：①当时，抛物线L为，对称轴为，
∴它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②L：，设顶点为，过点P作轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作轴于点，
由题意得：，
∴，
∴ ，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴或，
解得m=0，
当时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴．
③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，
∴设符合条件的抛物线M的解析式为，
∴，
整理得：，
∵抛物线M与有唯一交点，
当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，
此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；
当时，
，
即，
整理得：，
∵当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，
∴当m取任意实数时，上述等式成立，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
17．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点C．过点A作线段垂直y轴交于点B，过点C作线段垂直抛物线的对称轴交于点D，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．
(1)请根据定义求出抛物线的“伴随矩形”的面积；
(2)已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出m的取值范围；
(3)若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形”为正方形；②（其中表示矩形的面积）；③的最小值为．请求出满足条件的t值．
【答案】(1)2
(2)
(3)t的值为9或
【分析】（1）求出，即可得矩形的边长分别为1和2，再求面积即可；
（2）先求出“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，直线经过B点时，直线经过D点时，则时，矩形的四边与直线共有两个交点，当双曲线经过A点时，，则时，矩形ABCD的四边与双曲线无交点，故，满足题意；
（3）抛物线的“伴随矩形”的顶点分别是，，，，由题意可得，，求出，再由，进一步确定，根据韦达定理得，，则，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（舍）或（舍）；综上所述：t的值为9或
【详解】（1）解：∵，
∴，
当时，，
∴，
∴伴随矩形”的面积；
（2）∵，
∴“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，直线经过B点时，，解得，
直线经过D点时，，解得，
∴时，矩形的四边与直线共有两个交点，
当双曲线经过A点时，，
∴时，矩形的四边与双曲线无交点，
∴时，满足题意；
（3）∵，
∴，
∴抛物线的“伴随矩形”的顶点分别是，，，，
∵“伴随矩形”为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∵方程的两个根为x1，x2，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，，
∴，
∵的最小值为，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍）或（舍）；
综上所述：t的值为9或
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，弄清“伴随矩形”的定义是解题的关键．
…
（___，___）
…
…
…
…
…
…
…
…
（___，___）
…
…
…