四川省广安市2025年高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试全真模拟（一）数学试卷（解析版）

这是一份四川省广安市2025年高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试全真模拟（一）数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 2023的相反数是（ ）
A. 2023B.
C. D.
【答案】B
【解析】2023的相反数是．
故选：B．
2. 2023年1月，国家统计局发布我国全社会研发经费总投入30870亿元，首次突破3万亿元，较2022年增长，高于“十四五”规划全社会研发经费投入年均增长以上的目标．将数据30870亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】30870亿，
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
4. 如图，，，下列哪个条件不能判定≌
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、符合ASA，可以判定三角形全等；
B、符合SAS，可以判定三角形全等；
D、符合SAS，可以判定三角形全等；
C、，，若添加C、满足SSA时不能判定三角形全等的，C选项是错误的．
故选C．
5. 某学校举行唱歌比赛，最终有名学生进入决赛，这名学生的评分分别是，，，，，，，，，．则这组评分的众数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵这组数据中出现三次，出现次数最多，
∴众数是，
故选：．
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是菱形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】A．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，是假命题，不合题意；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，是假命题，不合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，是假命题，不合题意；
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
7. 文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设雀每只x两，燕每只y两，
由题意可得，，
故选：B.
8. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，下列结论：①对称轴是直线；②；③二次函数的图象经过点，，若，则；④y有最大值，其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】D
【解析】∵对于二次函数，当时，x的取值范围是，
∴二次函数开口向下，且二次函数对称轴为直线，故①正确；
∴，，故②错误；
∴离对称轴越远函数值越小，，
∵二次函数的图象经过点，，，
∴，∴或，
∴或，故③错误；
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最大值，即，故④正确；
综上分析可知，正确的是①④．
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
10. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围为_______
【答案】
【解析】∵一次函数的图象不经过第三象限，
∴，∴．
故答案为：．
11. 如图，正方形的面积为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形四边形．若，则四边形的面积为______．
【答案】
【解析】∵，
∴正方形的面积四边形的面积，
∵正方形的面积为，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
12. x＝______时，两分式与的值相等．
【答案】-8
【解析】根据题意可得：，等式两边同时乘以(x-4)(x-1)可得：4(x-1)=3(x-4)，解得：x=-8，经检验：x=-8是原方程的解.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是BC的中点，以D为圆心，DC长为半径作弧，交DA于点E；再以A为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点F，则FC的长为_____．
【答案】（3﹣）
【解析】∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝1，
在Rt△ADC中，∠ACD＝90°，AC＝2，CD＝1，
根据勾股定理，得AD＝，
根据作图过程可知：DE＝DC＝1，
∴AE＝AF＝AD﹣DE＝﹣1，
∴FC＝AC﹣AF＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
故答案为：（3﹣）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
解：（1）
；
（2）解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
15. 整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此某校教务处就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查．设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正的情况．选项：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果进行整理，并绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题．
（1）求a，b的值及“常常”所对应扇形的圆心角度数；
（2）请你补全条形统计图；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两名学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图法求出所选两名学生恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率．
解：（1）（人），
∴参与调查的人数为200人，
∴，
∵，
∴“常常”所对应扇形的圆心角度数为；
（2）人，∴“常常”所对应的人数为60人，
补全统计图如下：
（3）画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，
∴所选两位同学恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率是．
16. 第31届世界大学生夏季运动会在成都开展．大运会“火炬塔”（如图①）位于东安湖体育公园中心片区．某中学九年级数学兴趣小组开展了测量“火炬塔”高度的实践活动．如图②，“火炬塔”垂直于地面，点B，C，D在同一水平线上，通过实际测量，测得，，．求“火炬塔”的高度．（结果精确到）．参考数据：，，）
解：设，
∵，∴，
在中，，
在中，，
∵，∴，
解得，
答：“火炬塔”的高度约为．
17. 如图，点C在以为直径的上，的半径为3，，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F．
（1）求证：为的切线；
（2）若直线与交于点G，连接，求的面积．
（1）证明：连接．如图，
∵平分，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵为的半径，∴为的切线；
（2）解：如图，过点C作于点H，
∵是直径，的半径为3，
∴，，
∵，∴，∴，
在中，，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴．
18. [定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”．

（1）已知，矩形中，点的坐标分别为：①②；③，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号）
（2）如图1，已知点）是反比例函数的“伴随矩形”的顶点，求直线的函数解析式；
（3）若反比例函数的“伴随矩形”如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
（1）解：①∵，
∴，
∴满足同一个反比例函数，
②∵，
∴，
∴不满足同一个反比例函数，
③∵，
∴，
∴满足同一个反比例函数，
∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，
故答案为：①③；
（2）解：∵的反比例函数的“伴随矩形”的顶点，
∴，，∴，
设直线的解析式为，
则，∴，∴；
（3）证明：∵在反比例函数上，
设，，则，，
设直线的解析式为，则，∴，即，
∴直线过原点．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 若，则的值是_______．
【答案】
【解析】∵，
∴，即，
∴
，
故答案为：．
20. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
【答案】20
【解析】，
则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，
则菱形的边长为，
故菱形的周长为5×4=20，
故答案为20
21. “赵爽弦图”是我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的一种验证勾股定理的图形．如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边长与短直角边长之比为．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在阴影区域的概率为_______．
【答案】
【解析】设两直角边分别是3x，x，则斜边即大正方形的边长为，小正方形的边长为，
大正方形的面积为，小正方形的面积为，
针尖落在阴影区域的概率为，
故答案：．
22. 如图，在矩形中，，E，G分别为和的中点，连接，将沿着翻折得到，连接并延长交的延长线于点H．则_______．
【答案】
【解析】过作于，交于，
∵矩形中，，
∴，，
∵E，G分别为和的中点，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
设，则，，
∵将沿着翻折得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得，
∵，∴，解得，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
解得，
故答案为：．
23. 如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为______．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴在中，，
连接，由题意可知是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
∴点是外接圆的上的一个动点，
作的外接圆，连接，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点作于点，
当点共线时，的长最小，则的面积最小，
当点共线时，，
∴，
∴是等边三角形，，
过点作于点，则四边形是矩形，
∵，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小面积为，
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 某果园原计划种100棵桃树，一颗桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每颗桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵．
（1）如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？
（2）应种多少棵桃树，桃子的产量才会达到最大值？求出这个最大值．
解：（1）设多种x棵树，则，
整理，得：，
，
解得，，
∵多种的桃树不能超过100棵，即，，
∴不合题意，故舍去，
∴，
答：应多种20棵桃树；
（2）多种x棵桃树，桃子的产量为y，
则，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
∴多种100课桃树，即应种200棵桃树，桃子的产量才会达到最大值，最大值为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，抛物线过点，．
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线所对应的函数解析式．
（2）点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．点，的速度均为每秒个单位长度，运动时间为．
如图，过点作交于点，过点作于点，交抛物线于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，求当为何值时，的面积为．
如图，连接，过作于点，在点，运动的过程中，是否存在某个，使得？若存在，请直接写出相应的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵四边形是矩形，
∴轴，轴，
∵点，，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
将，两点坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形是矩形，，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴三点在同一直线上，
∴
∴，
∴，
解得或(舍)，
即当时，的面积为；
如图，取中点，连接，过点，作，
则，，，
∴
∵点坐标为，点坐标为，
∴，
∵，
∴，
整理得：
∴，
∴或，
故或时，．
26. 【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．
∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3，
在Rt△AEB中，AE＝，
∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC，
∴，∴，∴CF＝，
∴sin∠CAD＝．
（2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．
理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∵∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，
∴CM2+CB2＝BM2，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形．
（3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴
∴u＝，
设D（x，t），
由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2，
∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，
整理得（x+1）2＝4t﹣t2，
在Rt△ADH中，AD＝，
∴u＝＝（0＜t＜4），
即u＝（0＜t＜4）．