四川省雅安市2025届高三下学期4月二模数学试卷（Word版附解析）

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本试卷满分150分，答题时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：C.
2. 下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，逐一判断即可确定答案.
【详解】对于A，令，，而，
则，，所以是非奇非偶函数，故A错误；
对于B，令，，又，
所以是偶函数，故B错误；
对于C，令，，又，
所以是奇函数，故C正确；
对于D，因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法运算计算即可.
【详解】由，得.
故选：B.
4. 已知向量，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故选：A.
5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求出与的值，进而求出首项和公差，再根据等差数列的前项和公式求出，最后得出的表达式.
【详解】已知是等差数列，根据等差数列的性质可得，则.
又因为，所以，解得.
设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式，可得.解得，.
根据等差数列的前项和公式可得.
将代入可得：.
故选：D.
6. 已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作正四棱锥，为底面中心，由数据判断其外接球球心在高的延长线上，设球心为，在内，根据勾股定理求得外接球半径即可．
【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结，
则平面，则，，
根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC，
则球的半径，则，
则在内，由可得，
解得，故正四棱锥外接球的体积为﹒
故选：B．
7. 已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分焦点在轴和轴上两种情况讨论，结合渐近线公式及离心率公式求解即可.
【详解】当焦点在轴上时，则，
所以；
当焦点在轴上时，则，所以
所以，
综上所述，该双曲线离心率的取值范围是.
故选：D.
8. 已知，且，对于任意均有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为，所以且，
设，则的零点为，
当时，则，，要使，必有，则，不合题意；
当时，则或x2=x3>0，即或;
综上一定有.
故选：B.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增
D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A选项：用周期公式计算判断.
对于B选项：先求对称轴方程，令解出，再看取整数时能否得到，判断.
对于C选项：先找出余弦函数单调递增区间，当时，该范围包含，判断.
对于D选项：根据“左加右减”原则，得，再用诱导公式得出，判断即可.
【详解】对于选项A，在函数中， 最小正周期，故选项A正确.
对于选项B，对于余弦函数，其对称轴方程为.
令，解得.令，解得，故选项B错误.
对于选项C，对于余弦函数，其单调递增区间为.
令，解不等式得：
当时，，所以在上单调递增，故选项C正确.
对于选项D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.化简.
根据诱导公式，可得，故选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线的方程为
B. 的最大值为6
C. 点到直线的距离的最大值为2
D. 设直线与曲线的另一个交点为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设动点，根据题设列方程化简即可判断A；结合圆的几何性质判断BC；分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论求解，进而判断即可.
【详解】对于A，设动点，则由，
得，
化简得：，即，故A正确；
对于B，点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
则，所以的最大值为，故B正确；
对于C，要使点到直线的距离最大，则直线与圆相切，
设此时直线的方程为，即，
则，解得，
则直线与圆相切时，
直线的方程为，即，
此时点到直线距离为，
则点到直线的距离的最大值为，故C错误；
对于D，当直线的斜率不存在时，满足；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，
联立，得，
则，
则
，
所以直线与直线的倾斜角互补，则，故D正确.
故选：ABD.
11. 某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数.老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙.两人写出所有两位素数（11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97）后，对话如下：
甲：我不知道这个素数是多少.
乙：我早就知道你不可能知道.
甲：我还是不知道.
乙：我也早就知道你刚才不可能知道.
甲：我现在知道了.
则这个素数（ ）
A. 不是97B. 十位数字不是3，6
C. 是43D. 是73
【答案】ABC
【解析】
【分析】将所有两位素数列表，然后 再逐一分析五句话，利用排除法进而可得出答案.
【详解】将所有两位素数列表如下：
第一句话：甲不知道说明不是，故A正确；
第二句话：乙笃定甲不知道，说明个位数不是，排除，
第三句话：甲回答还是不知道，说明十位数不是，排除，故B正确；
第四句话：乙还是笃定刚才甲不知道，说明个位数不是，
第五句话：甲回答知道了，说明该素数十位数划去列后剩下唯一素数，
只有满足条件，故C正确，D错误
故选：ABC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上.
12. 椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意及椭圆的定义求出，即可得解.
【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为，
由题意可知焦距，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
13. 展开式中含项的系数为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先写出的展开式通式，然后根据的次数选择对应的系数计算即可.
【详解】对于，其展开式的通式为，
则展开式中含项的系数为
故答案为：.
14. 在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则______.
【答案】10或4049
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，由，可得，利用通项公式化简条件等式，可得即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，且，
由，则，故，
又，
，
，即，
，又，
，
，
化简整理得，即，
解得或，均满足.
故答案为：或.
四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：
（1）请根据这10日数据：
（i）计算，的平均值，；
（ii）求关于的经验回归方程；
（2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？
附：
参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
参考数据：，.
【答案】（1）（i），；（ii）
（2）上映半年后的票房为亿元，预测结果不合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）（i）根据平均数的定义及参考数据计算即可；
（ii）根据参考公式计算即可；
（2）根据，代值计算即可得到预测结果，再结合变量的变化趋势判断是否合理.
【小问1详解】
由题意，，
，
，
则，
，
所以关于的经验回归方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，
则预测该电影上映半年后的票房为亿元，
这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快，
随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓，
而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系，
不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势，
所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的.
16. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解；
（2）利用正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，再根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
又因为在锐角中，
所以，
又，所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以
所以.
17. 已知函数.
（1）若，，求的单调区间和极值；
（2）若，证明：当时，.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即可；
（2）利用导数求出函数的最小值即可得证.
【小问1详解】
若，，则，
则，
令，得，令，得，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以函数的极小值为，无极大值；
【小问2详解】
若，则，
则，
当时，函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又当时，，当时，，
所以存在唯一实数，使得，即，
令，则，令，则，
所以函数上单调递减，在上单调递增，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以.
18. 如图，已知四面体中，，，，平面平面.

（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）过作，交于，根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可；
（3）分别列举出相互垂直的棱、相互垂直的面和一个面垂直不在此面上的一条棱的基本事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【小问1详解】
过作，交于，因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
又平面，所以；
【小问2详解】
由（1）得，又平面，
所以平面，因为，
故，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，
设平面的法向量为，则有，
即，令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，故为的中点，
所以；
【小问3详解】
6条棱中任选2条，共有种情况，其中相互垂直的棱有5对：
，故，
4个面任选2个面，共有种情况，其中相互垂直的面有3对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故。
任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有种情况，
再从不在此面上的3条棱中选1条，有种情况，故共有种情况，
其中满足垂直关系的有2种，分别为平面和棱，平面和棱，
故，
所以．
19. 已知抛物线：.
（1）若点为抛物线上一点，证明：抛物线在点处切线方程为；
（2）设，是抛物线：上两点，过点，分别作的切线交于点，点，分别在线段，的延长线上，直线与抛物线相切于点.
（i）证明：；
（ii）记，的面积分别为，，求的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii）2.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程得证.
（2）（i）利用（1）的结论，设出切点坐标，求出直线的方程，两两联立求出点的横坐标即可推理得证；（ii）令，利用割补法，结合三角形面积比列式计算得解.
【小问1详解】
二次函数，求导得，抛物线在点切线的斜率为，
则切线方程为，而，整理得，
所以抛物线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
（i）令，设点的横坐标分别为，
由（1）知，直线的方程分别为，，，
联立，
因此，同理，
所以.
（ii）由（i），令，
则，
，
，
，
，
所以的值为2.
1
3
7
9
1
11
13
17
19
2
23
29
3
31
37
4
41
43
47
5
53
59
6
61
67
7
71
73
79
8
83
89
9
97
日期
1月29日
1月30日
1月31日
2月1日
2月2日
2月3日
2月4日
日期代码
1
2
3
4
5
6
7
累计票房（亿元）
4.88
9.68
15.87
23.19
31.32
39.76
48.43
日期
2月5日
2月6日
2月7日
日期代码
8
9
10
累计票房（亿元）
54.92
60.78
66.20