内蒙古呼和浩特市2025届高三第一次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古呼和浩特市2025届高三第一次模拟考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知复数满足，2B等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，所以，
又，所以.
故选：C
2. 已知复数满足：，则复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由复数的模长公式可得，
所以，，则.
故选：B.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，
.
故选：D.
4. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，求导得，
依题意，有两个不相等的实数根，则，解得，
由随机变量服从正态分布，且，
得，
所以函数有极值点的概率为0.4.
故选：C
5. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.命题是偶函数，命题，则（ ）
A. 是的充分不必要条件
B. 是的必要不充分条件
C. 是的充要条件
D. 是的既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意，，
当时，是偶函数，即，
若是偶函数，则，解得，显然不能推出，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
6. 已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为单位向量，由，
所以，
即，
设与夹角为，
则，
又，所以.
故选：C.
7. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，，
函数是奇函数，求导得，
函数在R上单调递增，由，得，
即，则，因此，解得，
所以所求的取值范围是.
故选：C
8. 已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，

设点，则，
设点在直线、的射影点分别为、，
则，，所以，，
设直线的倾斜角为，则为锐角，且，
则，所以，，
因为，故，
所以，，
由平面向量数量积定义可得.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分.
9. 2024年4月30日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）（）（与上月比较无变化），如图所示.下列说法正确的是（ ）
A. 从2023年4月到2024年4月制造业采购经理指数（PMI）呈下降趋势
B. 从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为
C. 从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为
D. 从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的分位数为
【答案】BD
【解析】对于A，制造业采购经理指数（PMI）有升有降，A错误；
对于B，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差
，B正确；
对于C，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为
，C错误；
对于D，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）,
从小到大的顺序为，
由，得第80百分位数为第6个数，为，D正确.
故选：BD
10. 在正方体中，棱长为1，已知点，分别是线段上的动点（不含端点）.下列说法正确的有（ ）
A. 存在无数条直线与直线平行
B. 与不可能垂直
C. 二面角不可能为定值
D. 点到任意直线的距离都不可能小于
【答案】AD
【解析】对于A，由，平面，平面，得平面，
则过的平面与平面相交，交直线分别于点，必有，
因此有无数条直线与直线平行，A正确；
对于B，在正方体中，，由平面，平面，
得，而平面，则平面，
又平面，因此，B错误；
对于C，由，得平面即为平面，平面即为平面，
因此二面角即为二面角，而二面角为定值，
则二面角为定值，C错误；
对于D，由选项B知，平面，点到平面的距离为，
而平面，因此点到任意直线的距离都不可能小于，D正确.
故选：AD
11. 琴生（Jensen，1859-1925）是丹麦的一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（ ）
A 若，有
B. 若，有
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，，则在是“凸函数”，
，，A正确；
对于B，，，则在是“凹函数”，
，有，B错误；
对于C，令函数，，
函数在是“凹函数”， ，
因此，C正确；
对于D，令函数，，
在是“凸函数”， ，，
因此，D正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆，斜率为且与圆相切的一条直线方程为__________.
【答案】（答案不唯一，）
【解析】圆的圆心，半径，
设切线方程为，即，
则，解得或，
所以所求切线方程为或.
故答案为：（或）
13. 边长为的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，若内部小正方形的边长为，则此正四棱锥的体积为__________.
【答案】
【解析】设底面的中心为，设线段的中点为，连接、，
因为，则，
因为为的中点，则，，
且，所以，，
翻折前，则、、三点共线，则，可得，
翻折后，在正四棱锥中，如下图所示：
由正四棱锥的几何性质可得平面，
因平面，所以，，
由勾股定理可得，
正方形的面积为，
因此，正四棱锥的体积为.
故答案为：.
14. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，
所以两式相减得，即，
由正弦定理，得，
即，
化简可得，因为，
所以，则，所以为锐角，
，
当且仅当时，取得最大值.
故答案为：.
四､解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明.
15. 已知为等差数列的前项和，满足，数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）将和的项由小到大进行排列组成数列，设的前项和为，求.
解：（1）在等差数列中，，解得，而，
则数列的公差，，由，得，
所以数列的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，而数列都是递增数列，
则数列前100项由数列的前93项和数列的前7项组成，
所以
16. 已知函数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数在上零点的个数.
解：（1）当时，，
求导得，
则，而，所以所求切线方程为，即.
（2）依题意，，
当时，；当时，，函数在上递增，
在上递减，，
当，即时，恒成立，此时在上无零点；
当，即时，，，在上无零点，
，在上有一个零点，则在上有一个零点；
当，即时，，
函数在和上各有一个零点，因此在上有两个零点；
当，即时，在上恒成立，当且仅当，函数在上有一个零点；
当，即时，恒成立，此时在上无零点，
所以当或时，在上无零点；
当或时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点.
17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，其中，点为棱的中点.

（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
（1）证明：由，即，得，而，
平面，则平面，又平面，于是，
由为等边三角形，且点为棱的中点，得，又，
平面，因此平面，而平面，
所以.
（2）解：由（1）知平面，而平面，平面平面，
在平面内过点作，而平面平面，则平面，
直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，
设平面的法向量为，则，令，得，
又平面的法向量为，设二面角的平面角为，
则，，
所以二面角的的正弦值为.
18. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）.
（1）求曲线的方程；
（2）为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点.
（i）证明：点在定直线上；
（ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
解：（1）设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点，
由点在圆上，得，即，
所以点的轨迹的方程是.
（2）（i）由（1）不妨令，直线不垂直于轴，
设直线，，
由，得，由，得或，
则，，
直线方程为，直线方程为，
联立消去，得，
解得，所以点在直线上.
（ii）由，得，则点在以为直径的圆上，
设，则，解得，即，
于是直线的方程为，由消去得，
而点A横坐标为，则点横坐标，纵坐标，
所以直线的斜率.

19. 在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为.
（1）若，求甲以获胜的概率；
（2）求与的关系；
（3）证明：.
解：（1）依题意，甲以获胜，在接下来的比赛中的情况为：甲乙甲甲或乙甲甲甲，
所以甲以获胜的概率为.
（2）设 “在第球比赛中甲获胜”为事件，“在第球比赛中甲获胜”为事件，
，，，
依题意，，
所以.
（3）由（2）知，，
而，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
因此，即，
由，得，则数列递增，
所以.