河北省保定市部分示范高中2025届高三下学期模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市部分示范高中2025届高三下学期模拟考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知为虚数单位，则， 已知为坐标原点，圆，则， 下列不等式成立的有等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选：B.
2. 已知为坐标原点，圆，则（ ）
A. 2B. 3C. D. 5
【答案】C
【解析】，则.
故选：C.
3. 已知向量，则在上的投影向量的模为（ ）
A. 1B. C. 10D.
【答案】A
【解析】向量在上的投影向量为，
故.
故选：A.
4. 已知圆台的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由圆台侧面积公式可得：.
故选：C.
5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】B
【解析】由题意，又，所以，故，所以，
所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为，
则焦点到渐近线的距离为.
故选：B.
6. 在中，内角的对边分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中， .
又，.
由正弦定理得，即.
在中，，，即.
.
故选：D.
7. 已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】是定义在上的函数，且有，当时，，
则时，，则，
时，，
时，，
时，，
画出函数与函数的图象，
由图象可知方程的根的个数为3.
故选：C.
8. 已知，函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
得，
又，得，
又，
所以，且，所以，故，
故
，又，
所以当时，取得最小值，
最小值为.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】因为，故A正确；
因为，故B正确；
因为，故，故C错误；
由，得，即，故D错误.
故选：AB.
10. 在正方体中，下列四个选项中正确的有（ ）
A. 直线平面
B. 每条棱所在直线与平面所成的角都相等
C. 平面平面
D. 直线平面
【答案】ABD
【解析】设正方体的棱长为1，
如图，因为平面，又平面，直线，所以直线平面，故A正确；
在三棱锥中，，所以三棱锥为正三棱锥，
故与平面所成的角均相等，
又正方体的其他棱均与中的一条棱平行，所以每条棱所在直线与平面所成的角都相等，故B正确；
连接交于点，连接，
因为均为等边三角形，所以，所以为二面角的平面角，
又，所以，所以C错误；
由，平面，得平面，
因为平面，所以，同理平面，所以直线平面，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知到点和的距离之积为定值的点的轨迹称为伯努利双纽线，.若，曲线过坐标原点，点为曲线上一点，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 曲线与轴有三个交点
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，由时，过坐标原点，所以，所以，
所以，故A正确；
对于B，设是曲线上任意一点，则，
化简得，
当时，，只有一解，所以B错误；
对于C，由，所以，故C正确；
对于D，由，得，
将其看成是关于的方程，则，
故，所以D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一组统计数据为，则这组数据的分位数为__________.
【答案】83.5
【解析】将数据从小到大排列：75，77，79，，
又，故这组数据的分位数为.
故答案为：83.5.
13. 由一个1、两个2和三个3排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为__________.
【答案】
【解析】由一个1，两个2和三个3排列成一个六位数字共有种结果，
若三个3之间的两个位置只有两个2，
有132323和323231两种，
若三个3之间的两个位置只有一个1和一个2，
有四种，
若三个3之间的两个位置中，
其中一个位置有一个1和一个2，另一个位置为2，
有312323，四种，
共10种结果，所以其概率.
故答案为：.
14. 已知集合，定义集合.若，记为集合中元素的个数，则的最大值为__________.
【答案】67
【解析】设满足题意，其中，
则：，
故，
，故，
因为，所以，
又中最小的元素为0，最大的元素为，则，
故，解得，
设，
则，，
因为，可得，即，
故的最小值为34，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，的最大值是.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）为的导函数，则当时，求的值；
（2）证明：有且仅有一条图象的切线过坐标原点；
（3）讨论函数单调性.
（1）解：当时，，
故，
故.
（2）证明：函数的定义域为，而，
设为切点，则切线的斜率，
切线方程为，
若切线过点，则，
化简得，方程只有一解为，
所以有且仅有一条图象的切线过坐标原点.
（3）解：当时，则，函数在上单调递增；
当时，令，
解得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
综上，当，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
16. 某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表：
单位：人
（1）经计算，所调查男员工绩效分数的平均数为26；女员工绩效分数的平均数为34，求这60人绩效分数的平均数.
（2）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？
（3）该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额（单位：千元）的分布列和数学期望.
附：
参考公式：，其中.
解：（1）由题意可知，30.
（2）零假设为：绩效分数达标情况与性别无关.
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为绩效分数达标情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（3）由题意知可能的取值为，
则；
，
所以甲在前两个月所得奖金总额的分布列为
数学期望0.44.
17. 如图，在圆锥中，是底面圆上的四点，为直线与圆的另一交点，为母线上一点，且.
（1）证明：平面底面圆；
（2）为底面圆的劣弧上一点（与点均不重合），且平面与平面所成角的余弦值为，求的正弦值.
（1）证明：设交于点，连接，
设圆半径为，则可得，
在中，，
所以，
故，所以，
又，所以为正三角形，因此为的中点，
易得，故，所以为的中点，所以.
又底面圆，所以底面圆，
又平面，所以平面底面圆.
（2）解：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
连接，设，平面的一个法向量为，
则，
故，
由得
令，解得，
又平面的一个法向量为，
则，
解得或（舍去），
所以，则，
故.
18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上的动点，的周长为6.
（1）求的标准方程.
（2）延长线段分别交于两点，连接，并延长线段交于另一点，若直线和的斜率均存在，且分别为，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
解：（1）设椭圆的焦距，
所以的周长为，即.
又椭圆的离心率为，所以，
所以，所以，所以，
所以的标准方程为.
（2）是定值.
由（1）得，
设，，
又三点共线，所以，化简得，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，化简得，
由根与系数关系可知，，
所以，
同理，
又
，
所以.
19. 已知数列的首项，当时，，数列满足，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列.
（1）求的值；
（2）记为数列的前项和，求使得成立的的最小值；
（3）从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为，证明：.
附：不等式，且的推广式均大于0，且不全相等）成立.
解：（1）数列的首项，当时，，
则数列是以1为首项，公差为2的等差数列，
所以，
由得，
数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列
所以数列为，
所以.
（2）由（1）知，所以等价于，
因为，所以，
又，则.
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，故的最小值为7.
（3）由（1）知数列的前100项中无重复的项，
所以，
所以，
设函数，
则，
所以在上单调递增，
所以当时，，即.
故，
则，即，所以.性别
绩效分数达标情况
合计
未达标
达标
男
20
10
30
女
5
25
30
合计
25
35
60
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
0
1
2