浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则的元素个数是（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】A
【解析】，，
所以的元素个数是4个.
故选：.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. 或B. 1或C. 或D. 1或
【答案】D
【解析】由，，得，
由，得，即，
所以或.
故选：D.
4. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为即，点为的中点，
所以
，
所以.
故选：D.
5. 已知函数的一条对称轴为，则的最小值为（ ）
A. 12B. 9C. 6D. 3
【答案】C
【解析】由函数一条对称轴为，
可得，所以，解得，
因为，所以的最小值为.
故选：C.
6. 已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由函数在定义域上为增函数，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故选：C.
7. 若正实数满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
又因为，所以，
即得，
所以当且仅当时取等号，
所以，所以的最大值是.
故选：B.
8. 已知函数的定义域均为，且，若为奇函数，则使成立的的最小值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】由，得，又，
则，，又，而为奇函数，
即，因此，由，
得，而，于是，
则，所以使成立的的最小值是6.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为
B.
C.
D. 是方程的根
【答案】BC
【解析】的虚部为，A错误；
，B正确；
，C正确；
代入方程，故不是方程的根，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数为奇函数
B. 当时，函数为偶函数
C. 当时，函数的值域为
D. 当时，函数的图象关于点成中心对称
【答案】BCD
【解析】当时，，
所以，且函数定义域关于原点对称，
即函数为偶函数，A选项错误，B选项正确；
当时，，
因为，所以，所以C选项正确；
因为，所以，
因此函数的图象关于点成中心对称，D选项正确.
故选：BCD.
11. 如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若的最小值为，则
D. 若对任意的，恒有，则
【答案】ABD
【解析】由题意，
所以，故A正确；
因为
，
所以在上的投影向量为，故B正确；
，
即，所以或，故C错误；
由，两边平方得.
即任意，，若，上式恒成立，即，
若，所以，得，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量满足，且的夹角为，则__________.
【答案】
【解析】.
13. 若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是__________.
【答案】
【解析】当时，，不对任意的恒成立，不符合；
当时，由题可知，且，解得，
故实数的最大值是.
14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，向量，，若点构成的四边形能够形成一个正方形，则__________.
【答案】1或3
【解析】由，，
可得，，
则，，
因，所以，即，
因为，所以，
因为点构成的四边形能够形成一个正方形，
结合图形观察可得：正方形的对角线只能是，
则，即，解得或3，
当时，，，
此时线段互相垂直且平分，，
所以四边形时正方形；
当时，，，
此时线段互相垂直且平分，，
所以四边形时正方形，所以或3
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若锐角满足，求.
解：（1）.
所以函数的最小正周期.
（2）因为，得，
又因为是锐角，所以，
因为，且，所以，
所以
.
16. 已知复数是虚数单位，，且为实数.
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
解：（1）由复数是虚数单位，，可得，
则，
因为是实数，所以，解得，
则，所以.
（2）由，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，可得且，
解得，所以实数的取值范围为.
17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.
（1）计算该模型的体积.（结果精确到）
（2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元）
解：（1）设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为10cm，
则，
.
（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为.
，故总费用为（元）.
18. 已知四边形中，为中点，为与的交点，.
（1）求的值；
（2）若，求.
解：（1）因为为中点，
所以，
所以.
（2）由（1）得
，
因为，
所以
，
，
所以.
19. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，且边的中线的长为，求的面积；
（3）若是锐角三角形，求的范围.
解：（1）由和正弦定理得：，
即，
，
又.
（2）.
，
，
.
所以的面积为.
（3）由正弦定理得：
.
因为锐角三角形，则.
，，
，所以.
20. 定义：如果函数在区间上有定义，且在区间内存在一点，使得，则称为函数的“偏移中值点”.已知函数.
（1）当时，判断函数是否有“偏移中值点”？如果有，求出“偏移中值点”，如果没有，请说明理由；
（2）若是函数的“偏移中值点”，求的值；
（3）若函数存在“偏移中值点”，求的取值范围.
解：（1）当时，函数，
假设函数有“偏移中值点”，则，即，
解得，所以函数没有“偏移中值点”.
（2）因为是函数的“偏移中值点”，则满足，
即，解得，所以，
又由，所以
（3）设函数的“偏移中值点”为，则，
即方程在上有解，
解法1：由方程，可得，
即方程在上有解，
令，转化为函数在上有零点，
①当时，由，可得，不符合题意；
②当时，可得，于是由，
解得或，此时，有一个零点，符合题意；
③当时，可得，由，解得或，
此时函数在上无零点，不符合题意；
④当且且时，
（i）若函数在上只有一个零点，
则满足或，解得；
（ii）若函数在上有两个零点，
则满足，且，且，且，解得，
综合①②③④可知，实数的取值范围是，
所以，
故的取值范围为.
解法2：由方程，可得，
即方程在上有解，
当时，方程无解，只需方程在上有解，
令，于是，
因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
设，因此，即，
于是，可得，
因此，
故的取值范围为.