湖南省名校联盟2024-2025学年高一下学期开学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份湖南省名校联盟2024-2025学年高一下学期开学质量检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，又，
所以．
故选：D．
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于当时，有，但，故条件不是必要的；
当时，有，故条件时充分的.
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
3. 已知函数的零点在区间内，且，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，与均在上单调递增，
所以在上单调递增，又，即，
由零点存在性定理可得，的零点所在区间为，所以．
故选：B．
4. 把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得的图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍后，
得到，再将函数图象向左平移个单位长度后，得到．
故选：A．
5. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：kg）的次方成反比．若为两个睡眠中的恒温动物，的体重为2kg，脉搏率为210次．若的脉搏率是140次，则的体重为（ ）
A. 6kgB. C. 8kgD. 9kg
【答案】B
【解析】根据题意设，
当，则，
当时，则，所以，
故选：B．
6. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，即，
又，，
又，所以，所以，所以.
故选：D．
7. 已知函数，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若对任意的，都有，
所以在上单调递增，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：C.
8. 已知均为锐角，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可得，
两边同时除以得，
所以，
因为均为锐角，所以，
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】函数的定义域为，由图可知，所以，选项D正确；
由图可知，所以，选项C错误；
由，即，解得，
由图可知，所以，所以，选项A正确，选项B错误.
故选：AD．
10. 已知幂函数的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 函数的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为为幂函数，有，解得或．
当时，，函数为奇函数，不符合题意；
当时，，函数为偶函数，函数图象关于轴对称．
由上知，，故A正确；
对于B选项，由，故B错误；
对于C选项，因为，
由，有，故C正确；
对于D选项，由（当且仅当或时取等号），
可得函数的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期为，则
B. 若的图象关于点中心对称，则
C. 若在上单调递增，则取值范围是
D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】因为函数的图象经过点，
所以，而，所以，即，
选项A，的最小正周期是，则，A正确；
选项B，的图象关于点中心对称，
则（因为），B错误；
选项C，时，，
则，，解得，C正确；
选项D，时，，
方程在上恰有两个不同的实数解，
即方程在上恰有两个不同的实数解，
则，解得，D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______．
【答案】
【解析】令，解得，此时，
所以函数（，且）的图象恒过定点，
设幂函数，则，解得，
所以．
13. 已知函数，，则______.
【答案】
【解析】∵，
，
所以.
14. 已知，且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】，
又，
，
，或（舍），
，
当且仅当即时，等号成立，此时的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. （1）计算；
（2）计算．
解：（1）
.
（2）
．
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程恰有两个实数根，求的取值范围．
解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，；
当时，，所以，
综上，.
（2）函数的图象如图所示：
所以且，解得或，
故的取值范围是．
17. （1）已知，且，求的最小值；
（2）解关于的不等式．
解：（1）因，所以得，即，
所以．
因为，所以．
当且仅当，即时，即时，等号成立；
此时.
（2）当时，，解集为，
当时，，
①当时，，解集为；
②当时，，解集为；
③当时，解集为；
④当时，，解集为．
综上所述：时，解集为；时，解集为；
时，解集为；时，解集为；时，解集为．
18. 已知函数是奇函数，且．
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为函数是一个奇函数，
所以，即，
可得，即，
所以，解得或．
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，满足题意，
综上，.
（2）在上单调递增，
不妨设，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，即，
所以在上单调递增，
又是奇函数且定义域为，所以在上单调递增.
（3）若对任意实数，不等式恒成立，
即，
又是奇函数，所以，
又在上单调递增．所以对任意实数恒成立，
又，
所以当时，取得最大值，所以，
解得，即的取值范围是.
19. 已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的最大值；
（3）记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，求函数在区间上的值域．
解：（1）由题意可知，函数的最小正周期为，所以，
所以，所以，
故，解得，
所以.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
再向上平移1个单位长度，得到的图象，所以，
又，所以当时，，
又，所以，
要使最大，则最大，最小．
所以当最大，最小时，
即取得最大值，最大值为.
（3）因为，所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
此时；
又，所以，所以，
所以的取值范围为；
当时，在上单调递减，
所以，，
此时；
又，所以，所以，
所以的取值范围为，综上，函数的值域为．