人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第六章数列6.3数列求和（讲义）（原卷版+解析版）

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\l "_Tc196904489" 2知识点02裂项相消 PAGEREF _Tc196904489 \h 2
\l "_Tc196904490" 3知识点03错位相减 PAGEREF _Tc196904490 \h 3
\l "_Tc196904491" 4知识点04倒序相加 PAGEREF _Tc196904491 \h 3
\l "_Tc196904492" 5知识点05分组求和 PAGEREF _Tc196904492 \h 4
\l "_Tc196904493" 6题型一、裂项相消 PAGEREF _Tc196904493 \h 4
\l "_Tc196904494" 7题型二、错位相减 PAGEREF _Tc196904494 \h 7
\l "_Tc196904495" 8题型三、倒序相加 PAGEREF _Tc196904495 \h 10
\l "_Tc196904496" 9题型四、分组求和 PAGEREF _Tc196904496 \h 12
知识点01公式法
等差数列an的前n项和Sn=n(a1+an)2=na1+n(n+1)2d
等比数列an的前n项和Sn=&na1 ， q=1&a1(1-qn)1-q ， q≠1
一些常见的数列的前n项和：
①k=1nk=1+2+3+⋯+n=12n(n+1)；
②k=1n2k=2+4+6+⋯+2n=n(n+1)
③k=1n(2k-1)=1+3+5+⋯+(2n-1)=n2；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④k=1nk2=12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)；
⑤k=1nk3=13+23+33+⋯+n3=[n(n+1)2]2
知识点02裂项相消
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和
常见的裂项技巧
①1n(n+1)=1n-1n+1
②1n(n+k)=1k(1n-1n+k)
【例题】记等差数列an的前n项和为Sn，已知S5=85，且a6=7a1．
(1)求an和Sn；
(2)设bn=5anan+1，求数列bn前n项和Tn．
【详解】（1）设an的公差为d，因为S5=5(a1+a5)2=5a3=85，所以a3=17，
又a6=7a1，所以17+3d=717-2d，解得d=6，
所以an=a3+n-3d=17+n-3×6=6n-1，
Sn=na1+an2=n5+6n-12=3n2+2n．
（2）bn=5anan+1=56n-16n+5=5616n-1-16n+5，
所以Tn=5615-111+111-117+⋯+16n-7-16n-1+16n-1-16n+5
=5615-16n+5=n6n+5．
知识点03错位相减
错位相减法：如果一个数列由等差数列和等比数列的积或者商构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
【例题】等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a3=10，4a32=a2⋅a6.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{n⋅an}的前n项和Tn.
【详解】解：（1）设数列{an}的公比为q，
则q>0，由4a32=a2⋅a6=a42
得：q2=4，所以q=2.
由a1+a3=a1+4a1=5a1=10，得到a1=2
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
（2）由条件知，
①Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n
②2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1
①-②得：
-Tn=2+22+23+⋯+2n-n×2n+1=2(2n-1)-n×2n+1=(1-n)2n+1-2
所以Tn=(n-1)2n+1+2.
知识点04倒序相加
倒序相加法：如果数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
【例题】如何推导等差数列an的前n项和公式？
【详解】设等差数列an的前n项和为Sn，
则Sn=a1+a2+a3+⋯+an-1+an，①
则Sn=an+an-1+⋯+a3+a2+a1，②，
其中a1+an=a2+an-1=a3+an-2=⋯=an+a1，
式子①+②得，2Sn=na1+an，
故Sn=na1+an2，
知识点05分组求和
分组求和法：如果一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可分别求和后相加减
【例题】在数列an中，a1=2，an+1=3an-2．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=an+n，求数列bn的前n项和Sn．
【详解】（1）因为an+1=3an-2⇒an+1-1=3an-1，
所以数列an-1是以a1-1=1为首项，3为公比的等比数列，
所以an-1=3n-1，所以an=3n-1+1；
（2）因为bn=an+n=3n-1+n+1，
所以Sn=1-3n1-3+n2+n+12=3n-1+nn+32.
题型一、裂项相消
一、单选题
1．数列12×5，15×8，18×11，…，1(3n-1)×(3n+2)，…的前n项和为（ ）
A．n3n+2B．n6n+4C．3n6n+4D．n+1n+2
2．等差数列an中，a2=4，它的前n项和Sn=n2+kn ，则1S1+1S2+⋯+1S100=（ ）
A．100101B．1101C．101100D．99100
3．已知数列{an}为等差数列，且a2=2，a6=6，则1a1a2+1a2a3+⋅⋅⋅+1a20a21=（ ）
A．1819B．1920C．2021D．2122
4．已知数列an的前n项和为Sn，若an=1n2+n，则S5=（ ）
A．1B．16C．56D．45
5．若数列an满足an=1nn+1，则an的前2022项和为（ ）
A．12023B．20222023C．12022D．20212022
6．设bn=1anan+1，且an=n，则数列bn的前n项和Tn是（ ）
A．Tn=nn+1B．Tn=nn+1
C．Tn=1n2+2nD．Tn=n2n+3
7．化简式子11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+12023×2025，得（ ）
A．20222025B．20242025C．10112025D．10122025
8．若数列an的通项公式为an=n2+n，则1a1+1a2+⋯+1a100=（ ）
A．100101B．1101C．101100D．99100
二、填空题
9．11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+19×10= .
10．已知an=2n2+nn∈N+，则数列an的前n项和Sn= ．
11．已知数列an满足a1=2,an+1-an=2n+2n∈N+，则数列1an的前4项的和为 ．
三、解答题
12．已知数列an的前n项和为Sn，a1=-11，a2=-9，且Sn+1+Sn-1=2Sn+2n≥2．
(1)求数列an的通项公式；
(2)已知bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn．
13．已知数列an是公比为2的等比数列，且a3是a1与a4-1的等差中项.
(1)求an的通项公式及前n项和Sn；
(2)设bn=1lg2an+1⋅lg2an+2，求数列bn 的前n项和Tn.
14．已知数列an各项均为正数，且a1=2,an+12-2an+1=an2+2an．
(1)求an的通项公式；
(2)记数列1anan+2前n项的和为Sn，求Sn的取值范围．
15．已知数列an,an>0,a1=2,an+12-an2=an+1+an.
(1)证明：数列an为等差数列；
(2)求数列1anan-1的前n项和Tn.
16．已知数列an是公差为2的等差数列，且a3是a1与9的等差中项.
(1)求an的通项公式；
(2)求1a1a2+1a2a3+1a3a4+⋯+1a19a20的值.
题型二、错位相减
一、单选题
1．数列1×21，2×22，3×23，…，的前n项之和为Sn，则Sn等于
A．(n-1)⋅2n+1-2B．(n-1)2n+1+2
C．n⋅2n+2D．n2n+1-2
2．已知数列满足a2=102,an+1-an=4n, (n∈N*)，则数列{ann}的最小值是
A．25B．26C．27D．28
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n
4．数列{an}的通项an=n×2n，数列{an}的前n项和Sn为（ ）
A．n×2n+1B．n×2n+1-2
C．n-1×2n+1+2D．n×2n+1+2
5．化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+⋯+2×2n-2+2n-1的结果是（ ）
A．2n+1+n-2B．2n+1-n+2
C．2n-n-2D．2n+1-n-2
6． Sn=12+24+38+⋯+n2n=（ ）
A．2n-n2nB．2n+1-n-22nC．2n-n+12n+1D．2n+1-n+22n
7．数列n⋅2n的前n项和等于（ ）
A．n-1⋅2n-2n+2B．n-1⋅2n+1+2
C．n-1⋅2nD．n-1⋅2n+1
8．19×12+17×122+15×123+⋯+1×1210=（ ）
A．18+3211B．17+3211C．18+3210D．17+3210
二、填空题
9．已知数列{cn}的通项公式为cn=(2n-1)⋅3n，则数列{cn}的前n项和Sn= .
10．已知an=12n+1，数列an2n前n项和Sn= ．
11．若an=12n，则数列n⋅an的前n项和Sn= ．
三、解答题
12．已知Sn､Tn分别是等差数列an和等比数列bn的前n项和，S5=15，b2b4=64,a2=b1,S3=T2．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)若bn为递增数列，cn=anbn，求数列cn的前n项和An．
13．已知数列an的前n项和为Sn=3n-1，数列bn满足，b1=-1，bn+1=bn+2n-1n∈N+.
(1)求数列an的通项公式an；
(2)求数列bn的通项公式bn；
(3)若cn=an⋅bn2n，求数列cn的前n项和Tn.
14．已知{an}为等比数列，a1=1, 2a2是4a1，a3的等差中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和．
题型三、倒序相加
一、单选题
1．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12B．14
C．16D．18
2．已知数列满足a2=102,an+1-an=4n, (n∈N*)，则数列{ann}的最小值是
A．25B．26C．27D．28
3．已知数列an中，an=2n-982n-99，则S=a1+a2+⋯+a97+a98=（ ）
A．96B．97C．98D．99
4．已知数列an中，an=1+12n-97，则S=a1+a2+⋯+a95+a96=（ ）
A．96B．97C．98D．99
5．已知某数列的通项an=2n-512n-52,n≠261,n=26，则a1+a2+⋯+a51=（ ）
A．48B．49C．50D．51
二、填空题
6．若fx=3x-22x-1，则f111+f211+f311+⋯+f1011= .
7．已知函数fx=11+x，则f19+f18+…+f12+f1+f2+…+f8+f9= ．
8．在数列an中，an=11+22011-2n，则S=a1+a2+…+a2010的值是 .
三、解答题
9．设数列{an}是公差为d的等差数列．
（1）推导{an}的前n项和Sn公式；
（2）证明数列Snn是等差数列．
10．已知fn=a1+a2Cn1+⋯+arCnr-1+⋯an+1Cnnn∈N*.
（1）若an=n-1，求fn；
（2）若an=3n-1，求f20除以5的余数
题型四、分组求和
一、单选题
1．已知等差数列{an}满足：a3=10，a7=22，则数列{(-1)n+1⋅an}的前40项和为
A．-60B．60C．-120D．120
2．数列112,214,318,4116…的前n项和为
A．12n2+n+1-12nB．12nn+1+1-12n+1
C．12n2+n+2-12nD．12nn+1+21-12n
3．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝（ ）
A．9B．8
C．17D．16
4．若数列an的通项公式是an=-1n3n-1，则a1+a2+···+a10=（ ）
A．15B．12C．-12D．-15
5．已知数列an的通项公式an=2n-12n，则数列an的前5项和S5等于（ ）
A．3132B．2516C．12932D．21132
6．数列an的前n项和为Sn，且an=(-1)n+1⋅(2n+1)，则S2021=（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
7．若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1，则数列{an}的前n项和Sn为（ ）
A．2n+n2-2B．2n+1+n2-2
C．2n+n2-1D．2n+1+n2-1
二、填空题
8．若数列{an}的前n项和为Sn，an=2n-1+(-1)n(2n-1)，则2a100-S100的值为 .
9．若数列an的通项公式是an=-1n3n-2，则a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2020= .
10．数列{an}中，an=-1nn，则a1+a2+⋯⋯+a10=
11．已知在前n项和为Sn的数列an中，a1=1，an+1=-an-2，则S101= ．
三、解答题
12．在数列an中，a1=4，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
(1)设bn=an-n，求证：数列bn是等比数列；
(2)求数列an的前n项和Sn．
13．在递增的等比数列an中，a1⋅a2=8，a1+a2=6，其中n∈N*.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=2an+3，求数列bn的前n项和Tn.
14．设有数列an，a1=56，若以a1，a2，a3，…，an为系数的二次方程an-1x2-anx-1=0都有根α，β，且满足3α+αβ+3β=1.
(1)求证：数列an-12是等比数列；
(2)求数列an的通项an以及其前n项和Sn.
15．已知数列an的首项a1=1，且满足an+1=3an+2n-1.
(1)证明：数列an+n为等比数列；
(2)求数列an的前n项和.