人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第六章数列6.2等比数列（讲义）（原卷版+解析版）

这是一份人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第六章数列6.2等比数列（讲义）（原卷版+解析版），文件包含62等比数列讲义原卷版docx、62等比数列讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc196667390" 1知识点01等比数列的定义 PAGEREF _Tc196667390 \h 2
\l "_Tc196667391" 2知识点02等比数列的通项公式 PAGEREF _Tc196667391 \h 2
\l "_Tc196667392" 3知识点03等比中项 PAGEREF _Tc196667392 \h 2
\l "_Tc196667393" 4知识点04等比数列的前n项和公式Sn PAGEREF _Tc196667393 \h 2
\l "_Tc196667394" 5题型一、等比数列的首项、公比、通项公式 PAGEREF _Tc196667394 \h 2
\l "_Tc196667395" 6题型二、等比中项 PAGEREF _Tc196667395 \h 8
\l "_Tc196667396" 7题型三、等比数列的前n项和公式Sn PAGEREF _Tc196667396 \h 14
知识点01等比数列的定义
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1an=q．
知识点02等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则
①通项公式an=a1qn-1=c⋅qn(c=a1q)(a1,q≠0)．
②通项公式的推广：an=am⋅qn－m
知识点03等比中项
①若an-1，an，an+1成等比数列，那么an叫做an-1与an+1的等比中项，并且an2=an-1∙an+1
②等比中项的推广：若m+n=p+q时，则aman=apaq，特别地，当m+n=2p时，aman=ap2．
知识点04等比数列的前n项和公式Sn
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则
①前n项和为Sn=&na1(q=1)&a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q≠1)
题型一、等比数列的首项、公比、通项公式
1．已知等比数列an的公比为2，a2+a4=10，则a5-a1=（ ）
A．5B．10C．15D．20
2．在等比数列an中，a4+a5=3,a7+a8=81，则公比q= （ ）
A．3B．±3C．3D．13
3．已知数列an是等比数列，若a1+a4=4,a2+a5=8，则a3=（ ）
A．169B．3C．54D．32
4．设an是等比数列，a2,a3,a4成等差数列，则a11a5=（ ）
A．1B．2C．4D．6
5．已知单调递减的等比数列an满足a2a4=164,a1+a5=1732，则a10=（ ）
A．11024B．1512C．512D．1024
6．在递增等比数列an中，a1a3a11=216，且a4+a6=20，则该数列的公比q为（ ）
A．13B．2C．3D．6
7．在等比数列an中，若a3a5=16，a2+a4=5，则a2=（ ）
A．1B．9C．1或9D．-1或9
8．已知数列{an}，a1=1，an+1=2an，若an=8，则n的取值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．等比数列an的前n项和为Sn，且a1+a4=4，a2+a5=8，则S6=（ ）
A．24B．28C．36D．48
10．已知等比数列an中，a1=1，且a1，3a2，9a3成等差数列，则an=（ ）
A．3nB．13nC．3n-1D．13n-1
二、填空题
11．设正项等比数列an的公比为q，若a2，3a1，a3成等差数列，则q= ．
12．若an是各项均为正数的等比数列，且a1=1，a5=16，则a6-a5= .
13．已知等比数列an满足：a2n=an2，且-a2是a1与a3的等差中项，则a5= ．
14．已知正项等比数列an满足a5-a1=15，a4-a2=6，则a6= ．
三、解答题
15．已知数列an为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值；
(2)若a1+a2+a3=7, a1a2a3=8,求数列an的通项公式．
16．已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足a6-a3=56，S6-S3=112．求数列an的通项公式.
题型二、等比中项
1．设等差数列an的公差不为0，若a4,a5,a7构成等比数列，a6=6，则a7=（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．已知等差数列an的首项为1，若a1, a2, a3+1成等比数列，则a4=（ ）
A．-2B．4C．8D．-2或4
3．在等比数列an中，已知a2=2，a4a6=28，则公比q=（ ）
A．-2B．2C．2D．±2
4．已知在等比数列an中，a4=1，a2a6a7=8，则a7=（ ）
A．4B．8C．12D．16
5．已知数列an为等比数列，其中 a6,a10为方程 x2+4x+3=0的两根，则a8=（ ）
A．±3B．-3C．3D．32
6．已知正项等差数列an的首项为2，若a1,a2,a3+1成等比数列，则a4=（ ）
A．2+32 B．-2+32
C．2-32 D．2+32或2-32
7．已知等差数列an的首项为1，公差不为0，且a2,a3,a6成等比数列，则a8等于（ ）
A．-11B．-13C．-24D．8
【答案】B
【分析】利用等差数列的通向公式和等比中项的性质列式求解即可.
【详解】因为等差数列an的首项为1，公差不为0，且a2,a3,a6成等比数列，
设an的公差为d，则1+2d2=1+d1+5d，解得d=-2，
所以a8=1+7d=-13.
故选：B
8．等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列，则an的公差为（ ）
A．-2B．-3C．2D．3
【答案】A
【分析】由等比中项的定义得到a32=a2a6，再根据等差数列的通项公式将首项a1，公差d代入计算即可.
【详解】设等差数列an的公差为d，
因为a2,a3,a6成等比数列，所以a32=a2a6，
即a1+2d2=a1+da1+5d，
整理可得d2+2a1d=0，
因为a1=1，d≠0，所以解得d=-2.
故选：A
二、填空题
9．在各项均为正数的等比数列an中，a3a13=144，a5=6，则a2= ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答．
【详解】等比数列an中，an>0，由a82=a3a13=144，
得a8=12，由a2a8=a52=36，得a2=3，
所以a2=3．
故答案为：3．
10．已知等差数列ann∈N*中a1、a2、a6成等比数列，a5=13，则a9= ．
【答案】13或25
【分析】设等差数列an的公差为d，根据题意可得出关于d的方程，即可解得a9的值.
【详解】设等差数列an的公差为d，由题意可得a22=a1a6，
即a5-3d2=a5-4da5+d，即13-3d2=13-4d13+d，解得d=0或d=3，
当d=0时，数列an为常数列，故a9=a5=13；
当d=3时，a9=a5+4d=13+12=25.
因此，a9=13或25.
故答案为：13或25.
11．已知数列an的通项公式为an=2n+6，若am是a1与a2m的等比中项，则m= .
【答案】3
【分析】根据等比中项的概念列方程，解方程可得结果.
【详解】由an=2n+6得，am=2m+6，a1=8，a2m=4m+6，
∵am是a1与a2m的等比中项，
∴am2=a1⋅a2m，即2m+62=84m+6，解得m=3或-1（舍）.
故答案为：3.
12．在等比数列an中，a3a5=36，a4+a6=60．则a1= ．
【答案】±29
【分析】由等比数列下标的性质可解.
【详解】在等比数列an中，a4+a6=60a3a5=36=a42⇒a4=6a6=54或a4=-6a6=66(q2=a6a4=-11,无解，舍去），
所以q2=a6a4=546=9，即q=±3，
所以a1=a4q3=6±33=±29.
故答案为：±29.
三、解答题
13．已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4=12，求a1a32a5；
(2)若an>0，a5a7+2a6a8+a6a10=49，求a6+a8；
(3)若an>0，a5a6=9，求lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10的值．
【答案】(1)14
(2)7
(3)10
【分析】（1）利用等比数列的性质求解即可.
（2）利用等比中项和等比数列的性质求解即可.
（3）利用等比数列的性质以及对数的运算求解即可.
【详解】（1）在等比数列an中，
∵a2a4=12，∴a32=a1a5=a2a4=12，
∴a1a32a5=14.
（2）由等比中项，
∵ a5a7+2a6a8+a6a10=49，
a62=a5a7，a6a10=a82，
∴ a62+2a6a8+a82=49，
即a6+a82=49，
∵an>0，∴a6+a8=7.
（3）由等比数列的性质，
a5a6=a1a10=a2a9=a4a7=9，
∴lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10=lg3a1a2⋯a10
=lg3a1a10a2a9a3a8a4a7a5a6=lg395=10.
题型三、等比数列的前n项和公式Sn
1．已知等比数列an的公比为2，前n项和为Sn.若S9=511，则a3=（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】A
【分析】根据已知条件求得a1，进而求得a3.
【详解】依题意S9=a11-291-2=511a1=511,a1=1，
所以a3=1×22=4.
故选：A
2．设Sn为公比为q的等比数列an的前n项和，且2S3=7a2，则q=（ ）
A．152B．2C．12或154D．12或2
【答案】D
【分析】利用等比数列的性质得到1q+q=52，求出公比.
【详解】由题意得：2a2q+a2+a2q=7a2，因为a2≠0，所以1q+q=52，
所以q2-52q+1=0，解得q=12或2．
故选：D
3．已知等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3+a5=1,a2+a4+a6=2，则S12-S6=（ ）
A．18B．54C．128D．192
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义结合求和定义，可得答案.
【详解】设等比数列an的公比为q，则a1+a3+a5q=a2+a4+a6，解得q=2．
S12-S6=a7+a8+⋯+a12=a1+a2+⋯+a6×26=3×26=192．
故选：D.
4．设Sn为正项等比数列an的前n项和，已知a1=2，S4=a5-2，则a10的值为（ ）
A．20B．512C．1024D．2048
【答案】C
【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式即可求出结果，再运用等比数列求和公式时要对q进行分类讨论.
【详解】设正项等比数列an的公比为qq>0，则当q=1时，由a1=2得：
S4=8,a5=2，不满足S4=a5-2，所以q≠1，则S4=a11-q41-q,a5=a1q4，
又因为a1=2，S4=a5-2,所以可得：21-q41-q=2q4-2，
化简得：q4-1q-2=0，解得q=2，
所以a10=a1q9=2×29=210=1024，
故选：C.
5．记Sn为等比数列an的前n项和，若a2=3，S2=92，则公比q=（ ）
A．12B．13C．3D．2
【答案】D
【分析】由等差数列求和公式基本量的计算即可得解.
【详解】若a2=3，S2=92，则3+3q=92，解得q=2，符合题意.
故选：D.
6．设等比数列an的前n项和为Sn，若a1=-1，32S10=31S5，则a6=（ ）
A．-132B．-164C．132D．164
【答案】C
【分析】设公比，将等式运用公式化简求出q，再代入通项公式即可求得.
【详解】设等比数列an的公比为q，由32S10=31S5可知q≠1（否则320a1=155a1不成立），
则有32×1-q101-q=31×1-q51-q，化简得，32(1+q5)=31，解得，q=-12，
于是，a6=a1q5=-(-12)5=132.
故选：C.
7．若等比数列an的前n项和Sn=2n-1，则公比q=（ ）
A．12B．-12C．2D．-2
【答案】C
【分析】根据Sn，依次求出a1,a2，依题即可求得公比.
【详解】由Sn=2n-1，n=1时，a1=1，
n=2时，由a1+a2=1+a2=22-1解得，a2=2，
依题意，q=a2a1=2.
故选：C.
8．已知首项为负数的等比数列an的前n项和为Sn，若S2=3，S6=63，则a4=（ ）
A．8B．16C．24D．48
【答案】C
【分析】根据等比数列通项公式与求和公式可得解.
【详解】设数列an的公比为q，
则S2=a1+a2=a11+q=3，
又a1