2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题34 最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

这是一份2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题34 最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版），共13页。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc18003" PAGEREF _Tc18003 \h 1
\l "_Tc28838" 模型1.阿氏圆模型 PAGEREF _Tc28838 \h 1
\l "_Tc23193" PAGEREF _Tc23193 \h 12
模型1.阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，点D是平面上一点，且，连接，则下列说法正确的是（ ）
A．长度的最大值是9B．的最小值是
C．D．面积的最大值是40
例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ___．
例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ．
例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 ．
例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．
例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
2．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
4．（2024·山东泰安·二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为 ．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ．
8.（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连接，交于点．，分别是边，的中点，连结接，．若正方形的边长为，则的最小值为 ．
9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋EF 的最小值为 ．
10．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形的边长是4，的半径是2，点E是上一动点，连接，．则的最小值= ．
11．（2024九年级·广东·专题练习）如图，在中，，的半径为2，D是上一动点，点E在上，，连接，则的最小值
12．（2024·四川·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是 ．
14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ．
15．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .

16．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ．
17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．
所以，所以．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．
18．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以．
又因为，所以最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求最小值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．
20．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，交于点，为线段上一动点，连接．(1)如图1，连接，若是的角平分线且时，求的度数．(2)如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接交线段于点，连接，若点为线段的中点，求证：．(3)如图3，在（2）的基础上，若，将绕点顺时针旋转角度，旋转后对应，点对应的点为，连接，，．旋转过程中，当线段与线段存在交点且时，记；当取得最小值时，记为．请直接写出的值．