2025年高考第二次模拟考试卷：数学（北京卷）02（解析版）

这是一份2025年高考第二次模拟考试卷：数学（北京卷）02（解析版），共18页。试卷主要包含了已知直线被圆截得的弦长为2，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算集合A，再应用补集定义运算即可.
【详解】由题意可得，
又，则.
故选：C.
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用共轭复数的定义，即可求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C.
3．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合函数奇偶性的性质以及幂函数的定义与性质分别检验各选项即可．
【详解】根据幂函数的定义可知：为幂函数，
且定义域为 ，满足 为奇函数，故A正确；
为偶函数,故排除B选项；
令，∴，所以为非奇非偶函数，C错误；
的定义域为 ，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故D错误，
故选：A．
4．已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据即可求得结果.
【详解】圆心到直线的距离，弦长的一半为.
故选：A.
5．双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（ ）
A．1B．1或9C．9D．3
【答案】C
【分析】由双曲线的定义和性质可得；
【详解】由题意可得，即，
又，即，
由双曲线的定义可得，解得或9，
又，所以.
故选：C
6．记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】在中，由及正弦定理，得
，则，
而，则，两边平方整理得，而，
于是，，因此为直角三角形；
反之，为直角三角形，或或，
所以“为直角三角形”是“”的必要不充分条件，B正确.
故选：B
7．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】先根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出和的值，再代入式子求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
即，即，则，
设等比数列的公比为，由，得，
即，则，即，
所以.
故选：C.
8．已知向量为单位向量，且满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律计算得解.
【详解】由，得，则，
由，得，则，
而为单位向量，所以.
故选：C
9．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannn）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（ ）（参考数据：）
A．1559B．3943C．1579D．2512
【答案】C
【解析】由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可．
【详解】由题意得：，
则，，
故选：C
10．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）
A．图形关于轴对称B．点的纵坐标的最大值为
C．D．
【答案】D
【分析】利用图形的对称性可判断A选项；当时，分析可知，关于的方程有解，由可判断B选项；当时，化简曲线的方程，结合基本不等式可求出的最大值，可判断C选项；解法一：当时，化简曲线的方程，结合基本不等式求出的范围，即可求出的范围，可判断D选项；解法二：当时，化简曲线的方程可得出，利用三角换元可判断D选项.
【详解】对于A选项，在曲线上任取一点，则，
点关于轴的对称点为，则，
所以，曲线关于轴对称，故A正确；
对于B，当时，方程变换为，
由题意可知，关于的方程有解，
由，解得，所以的最大值为，故B正确；
对于C选项，当时，由可得，（当时取等号），
所以，，．故C正确；
对于D，解法一：令解得，记，
当时，由可得，（当时取等号），
所以，，则．
又．故D错误；
另解：有对称性可知，只需要讨论即可，此时，
即为，
令，其中，可得，
，
因为，故，，．
，D错.
故选：D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在的展开式中，的系数为 用数字填写答案
【答案】80
【分析】先求出展开式通项公式，进而得x的系数．
【详解】解：的展开式的通项公式为：
由得
则展开式中x的系数为
故答案为：80
12．在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则 .
【答案】
【分析】利用余弦定理可得，进而可求.
【详解】因为、、，
由余弦定理可得，
且，所以.
故答案为：.
13．已知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为 ；点到抛物线的准线的距离为 .
【答案】
【分析】根据A在抛物线上，代入抛物线标准方程后可求出抛物线标准方程，进而求出焦点坐标以及准线方程，最后可求A到准线距离.
【详解】如图所示，

由题意得，因为在抛物线上，
所以将A坐标代入抛物线标准方程可得，
所以抛物线标准方程为.
于是可得抛物线焦点坐标为，即，
准线方程为，即，
所以A到准线的距离为.
故答案为：，.
14．已知函数，若，则的最小值为 ；若恰有2个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】当时，分段求函数的值的范围，由此求时函数的最小值，就时函数的零点个数展开讨论，列不等式求的范围.
【详解】若，则，
当时，函数在上单调递增，故，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
若当时，有个零点，
则当时，有个零点，
则，解得
若当时，没有零点，
则当时，有个零点，则或，
解得.
综上，或.
故答案为：；.
15．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列说法正确的是（ ）
①．若数列满足：，则为和谐数列
②．对任意的正整数均有，则为和谐数列
③．若等差数列是和谐数列，则一定存在最大值
④．若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列
【答案】①②④
【分析】先证明等价于，对于①，结合等比数列求和公式证明，由此判断①，对于②，由条件结合前项和的定义证明，判断②，对于③，设等差数列的公差为，先证明为等差数列，公差为，再结合定义证明，结合等差数列求和公式判断③，举例说明满足条件的数列存在，判断④.
【详解】因为，
对于①，，所以为和谐数列，故①正确；
对于②，若，则，所以②正确；
对于③，设等差数列的公差为，则，
所以，即为公差为的等差数列，
若为和谐数列，即，则，
则数列是单调递增的等差数列，又是无穷数列，
所以无最大值，所以③错误；
对于④，取，，
则，，
下面证明，即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列，
即证，
即证，
即证，
当时，上式左边为负数，显然成立；
当时，即证，即，
而
所以式成立，所以④正确.
故选：①②④.
解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（满分13分）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为．
(1)证明：平面；
(2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析 (2)．
【分析】（1）先应用线面平行判定定理结合性质定理，再结合面面垂直的性质定理得出线面垂直；
（2）应用空间向量法计算线面角结合值域即可求出最大值.
【详解】（1）在正方形中，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为，平面平面且平面平面，平面，
所以平面，则平面．分
（2）取中点记为，中点记为，连接，所以，
连接，因为为等腰三角形，所以，
所以，，两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，，
令，所以，，，
记平面的一个法向量，则，
可取，记直线与平面所成的角为，
则，
当时，，当时，
，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．分
17．（满分14分）已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)若的图像是由的图像向右平移单位长度得到，则当，求满足实数x的集合.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）令，解出x的范围即可；
（2）根据图像平移求出)解析式，结合三角函数图像即可求解不等式.
【详解】（1）
令，，则，，
所以的单调递增区间为，；分
（2）由题意可得，
由可得，因为，所以，
由正弦函数图像可得，
则，所以x的取值集合为分
18．（满分13分）随着教育部的“双减政策”落地，为了丰富高中基础年级学生的课余生活，2025年元旦期间，某校师生举行一场惊心动魄的足球比赛；由教师代表队、高一学生代表队和高二学生代表队组成、得分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由教师代表队与高一学生代表队和高二学生代表队的两场比赛．根据前期比赛成绩，教师代表队与高一学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为；由教师代表队与高二学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
(1)求教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率；
(2)用表示教师代表队两场比赛获得积分之和，求的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）将事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分”分为“教师胜高二且教师平高一”、“教师胜高二且教师负高一”、“教师平高二且教师负高一”，进而可得；
（2）由题意的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，先求随机事件对应的概率进而可得其分布列与期望.
【详解】（1）设事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为3分”，
事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为1分”，
事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为0分”，
事件“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为3分”，
事件“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为1分”，
事件“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为0分”，
事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分”，
，，，
则，分
教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率为．
（2）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，6．
，，
，，
，．
的分布列为
．分
19．（满分15分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）略
（2）
【详解】解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．
∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴． 所求椭圆方程为． ……………5分
（Ⅱ）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为．
由 可得．
∴．
．其中
以为邻边的平行四边形是菱形
．
∴． ………………………15分
20．（满分15分）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)证明：在上恒成立；
(3)讨论方程在上的根的个数.
【答案】(1)当时，单调递减；当时，单调递增 (2)证明见解析 (3)答案见解析
【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性即可；
（2）令，先利用导数证明恒成立，即可证明在上恒成立；
（3）由（2）可知在上的根的个数即方程的根的个数，令，利用导数求的单调性进而得到的范围即可求解.
【详解】（1）由题意当时，则，
令解得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．分
（2）先证明对任意，，
令，，
令解得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，即，
故对任意成立，且当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以在上恒成立．分
（3）由（2），在上恒成立，当且仅当时等号成立，
也即的根为的根，下讨论方程的根的个数，
化简得，令，则，
令解得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
又，且当时，，时，，
故当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根，
综上所述当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根．分
21．（满分15分）若数列满足如下两个条件：①是1，2，3，，的一个全排列;②或，k为常数且则称数列为“数列”.
(1)请写出所有的“数列”;
(2)证明：k是奇数;
(3)当时，求k的最大值，并说明理由.
【答案】(1)①，2，3，②，4，3，③，1，4，④，3，4，⑤，2，1，⑥，4，1，⑦，1，2，⑧，3，2，1；
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）应用新定义写出“数列”；
（2）应用已知新定义结合累加及分奇数，偶数分别判断证明；
（3）根据已知及数列的新定义分奇偶分类讨论计算最值.
【详解】（1）①，2，3，②，4，3，③，1，4，④，3，4，⑤，2，1，⑥，4，1，⑦，1，2，⑧，3，2，1；分
（2）由条件得或，
设的有个，的有个，的有个，的有个.
则即，
若k为偶数，则为偶数，
①当为奇数，则中的每一项均为奇数，不合题意;
②当为偶数，则中的每一项均为偶数，不合题意，
所以k不能为偶数，即k为奇数分
（3）的最大值为
首先我们可以写出一个满足要求的数列：
当时，，则
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
当时，，则
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
且
下面用反证法证明没有比1011更大的k的值.
由知， k为奇数，假设，现在考虑1013这个数，
因为对于任意一个小于等于2024的正整数i，，
即数列中的任意一项不能与1013相邻，但1013是数列中的一项，矛盾.
所以，所以k的最大值为分
0
1
2
3
4
6