吉林省延吉市延边第二中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题【含答案】

这是一份吉林省延吉市延边第二中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题【含答案】，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏东，
D．北偏东，
5．在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
6．在中，在边上，且平分，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，若，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
8．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．2
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知平面向量， 则（ ）
A．B．
C．D．
10．若复数满足（是虚数单位），则下列说法错误的是（ ）
A．的虚部为B．的模为
C．的共轭复数为D．在复平面内对应点在第一象限
11．下列命题错误的是（ ）
A．若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为
B．在中，若点满足，则点是的重心
C．已知向量．若向量与向量共线，则实数的值为
D．平面向量，.若与夹角为锐角，则实数的取值范围.
12．下列说法正确的是（ ）
A．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为
B．在中，为所在平面内一点，且，则
C．已知在中，角的对边分别是，．若的面积，则的值为或．
D．在中，分别是的内角所对的边，且.若，，则边长为
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形面积为
14．若满足条件，，的有两个，则的取值范围是 .
15．如图平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义为：若（为与轴、轴同方向单位向量），则点的斜坐标为.若在该斜坐标系中，， ，则为
16．在中，内角的对边分别为，且．若，是边的中点，且，则的内切圆的半径为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知是虚数单位，复数，m为实数．
(1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数
(2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数
18．已知向量的夹角为，且，若求：
(1)；
(2).
19．已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值
20．已知的内角的对边分别为，面积为.
(1)求；
(2)若的周长为20，面积为，求.
21．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.

(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？
(2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？
22．在圆内接四边形中，已知，，平分．

(1)若，求的长度；
(2)求的值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】.
故选：D
2．【答案】B
【详解】对于A：，故A不合题意；
对于B：，故B满足题意；
对于C：，故C不合题意；
对于D：，故D不合题意.
故选：B
3．【答案】C
【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C.
4．【答案】A
【详解】

如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸，
依题意，，，
则，则，
因为为锐角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选:A.
5．【答案】B
【详解】由余弦定理，
将，，，代入得，
则有，且，解得.
故选：B.
6．【答案】A
【详解】
由角平分线性质定理可得：，所以不妨设，则，
由三角形余弦定理得：，
代入已知条件得：，
即，解得，即，
再由三角形等面积关系得：，
即，
利用已知条件可得：
即，代入已知数据得：
，解得：.
故选：A.
7．【答案】B
【详解】由向量的平行四边形法则，知当时，，又，，
故，，则，所以．
故选：B
8．【答案】A
【详解】∵是的重心，，
又，结合题意知，
因为三点共线,
当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确.
故选：A
9．【答案】BCD
【详解】因为，
所以，即与不共线，故A错误；
，所以，故B正确；
因为，，
所以，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD
10．【答案】AC
【详解】若，则，
对于A，的虚部应为，故A错误，
对于B，的模为，故B正确，
对于C，的共轭复数应为，故C错误，
对于D，在复平面内对应点为，显然在第一象限，故D正确.
故选：AC
11．【答案】AC
【详解】对于A：因为，且，
所以，即，解得，
所以在方向上的投影向量的模为，故A错误；
对于B：取中点，则，又，
所以，所以在中线上，且，所以为的重心，故B正确；
对于C：因为，
所以，，
因为向量与向量共线，
所以，解得，故C错误；
对于D：因为，，则，
又与夹角为锐角，所以且与不同向，
若，则，解得；
若与共线，则，解得；
综上可得实数的取值范围，故D正确.
故选：AC
12．【答案】ACD
【详解】
对于A，如图，以为原点建立平面直角坐标系，连接，作，
由题意得，，由勾股定理得，，故，
可得的直线方程为，设，
易得，故，
而为边上的中线，故是的中点，
由中点坐标公式得，
易得，故，
则，故A正确，
对于B，假定是等边，且它的内角，，的对边
分别为，，，若，，
如图，以为原点建立平面直角坐标系，由题意得，，
故，易得，，故，，
而，故，此时，
故，显然，可得的方程为，
由点到直线的距离公式得到的距离为，
故，则，
故在该特殊情况下不成立，则对一般情况也不成立，故B错误，
对于C，在中，若，
可得，
故，
可得，显然，故，即，
故，而，化简得，
由余弦定理得，联立方程组并消去得，
解得或，代入得或，故C正确，
对于D，若，由正弦定理得，
整理得，故，由余弦定理得，
且在中，故，可得，
由正弦定理得，解得，故D正确.
故选：ACD
13．【答案】
【详解】设，若，则，
则点在以坐标原点为圆心，大圆半径为，小圆半径为的圆环区域内（包括边界），
则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为.
故答案为：
14．【答案】
【详解】在中，由正弦定理得：，
因有两解，即给定x值，由求出的角B有两个，它们互补，
当时，，角B唯一确定，只有一解，
则，即有，而当时，是直角三角形，只有一解，
有两解，则必有，即，有，
所以的取值范围是.
故答案为：
15．【答案】
【详解】依题意，，而，
则存在使得，即，于是，解得，
因此，即，显然，
所以.
故答案为：
16．【答案】
【详解】因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
又，所以，
由余弦定理得，即．
又D是边的中点，且，所以，
所以，即，
又，所以，，所以．
设的内切圆的半径为r，所以，
所以．
故答案为：.
17．【答案】(1)-1
(2)
【详解】（1）根据纯虚数的定义，，解得；
（2）利用复数的几何意义，复数坐标为，根据对应的点位于实轴负半轴，，解得，则
18．【答案】(1)9
(2).
【详解】（1）
；
（2）因，
则
，
故.
19．【答案】(1)
(2)面积的最大值为．
【详解】（1）因为，
所以
整理得
由余弦定理知，
所以．
因为，所以．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，
即面积的最大值为．
20．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，
所以，
因为，所以.
（2）由余弦定理可得，，
即.
因为，所以.
因为，
所以
整理得，所以.
21．【答案】(1)120海里
(2)，能在3小时内赶到救援，理由见解析
【详解】（1）在中，因为，，
所以，，
又，所以由正弦定理可得，即，解得，
所以A船距离雷达站C距离为120海里；
（2）在中，根据正弦定理可得，
即，解得，
在中，由余弦定理可得，
解得，
因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，
所以能在3小时内赶到救援.
22．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）平分，有，
又，，所以，有，
由，，
在和中，由余弦定理得，
，
有，解得，，
则有.
（2）由（1）知，有，设，
在和中，由余弦定理得，
，
有，解得，
又，，，
，在和中，由余弦定理得，
，即，
得，即，
.