河北省保定市十县一中2024−2025学年高二下学期3月联考 数学试题【含答案】

这是一份河北省保定市十县一中2024−2025学年高二下学期3月联考 数学试题【含答案】，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的关系式为，则时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的（ ）
A．2倍B．4倍C．D．
6．已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数及其导函数的定义域均为，若为偶函数，且是周期为4的周期函数，则（ ）
A．B．100C．0D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义在上的函数的导函数是，且．若，则称是的“增值”函数．下列函数是的“增值”函数，其中使得在上不是单调函数的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数的最大值为0，则的值可能为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数，其导函数为，则 ．
13．如图，某公园内有一个三角形的人工湖，其中．为便于游客观光，公园的主管部门准备修建两条观光近和（为线段上一点，且异于），已知修建的单位长度费用是修建的单位长度费用的3倍，要使修建这两条观光道的费用最低，则 ．
14．已知恒成立，则正数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在时取得极值13.
(1)求，的值；
(2)求在上的最大值和最小值.
16．已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
17．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若在上的最小值为10，求a的值．
18．已知函数及其导函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程；
(3)若曲线与恰好存在两条公切线，求的取值范围．
19．已知是函数的零点，若对满足的任意正整数，使得，则称“被控制”．
(1)已知函数，若“被2控制”，求的取值范围．
(2)已知函数有三个零点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：“被1控制”．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为为常数，所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选B.
2．【答案】B
【详解】因为，所以，所以切点为，
又，所以切线斜率，
故的图象在点处的切线方程是，
即．
故选B.
3．【答案】C
【详解】由图象，设与轴的交点横坐标为，其中，
由图象可得时，，当时，，所以是极小值点，
当时，，所以不是极值点，
当时，，所以是极大值点，
时，，所以是极小值点，
故极小值点的个数为2.
故选C.
4．【答案】A
【详解】由题意得，故．
故选A.
5．【答案】B
【详解】因为，所以，
则时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的倍.
故选B.
6．【答案】D
【详解】由题可知在上单调递减．因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，又，
所以，
所以当或时，；当或时，．
不等式，即或，
解得或，
所以满足不等式的实数的取值范围为．
故选D.
7．【答案】C
【详解】由题可知，，
求导可得，，
所以是周期为4的奇函数，令，则，
所以.
故选C.
8．【答案】A
【详解】因为．
构造函数，则，
当时，单调递增，
所以，
所以．
故．
故选A.
【方法总结】利用指数函数、对数函数的性质比较大小的题目，常用的方法：
（1）作差法；
（2）作商法；
（3）利用函数的单调性（指数和对数经常化为同底）；
（4）图象法；
（5）构造中间量法，比如和0，±1进行比较.
9．【答案】BD
【详解】，则，
所以有两个极值点，，且．
故选BD.
10．【答案】CD
【详解】由，可得．
对于A：由，可得：为常数，
令，则，所以，则在上是减函数，故错误；
对于B：由可得：，为常数，
令，则，所以，则在上是增函数，故错误；
对于C，由可得：，为常数，
令，则，所以，
由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增，故正确；
对于D，由可得：，为常数，
令，则0，所以，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，故正确．
故选CD．
11．【答案】ABD
【详解】因为的最大值为0，所以的图象与的图象的上方相切．
第一种情况，直线与在上的图象相切，
设切点为，，所以，
解得，，又，
所以．
取，得，取，得，
第二种情况，直线与在上的图象相切，
设切点为，，所以，
解得，，又，
所以．
取，得，
故选ABD．
12．【答案】
【详解】因为，所以．
13．【答案】
【详解】设，修建的单位长度费用为，修建总费用为，
则，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，则取得最小值．
14．【答案】
【详解】由，可得．
令，易知在上单调递增，
由，可得，
故，即.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，
故正数的取值范围是.
15．【答案】(1)，.
(2)最大值为，最小值为.
【详解】（1）由题可得，
，，
解得，.
（2）由（1）知，令，
解得，，
当时，，
所以的单调递增区间为，，
当时，，所以的单调递减区间为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以在上的最大值为，最小值为.
16．【答案】(1).
(2)．
【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以．
因为，所以，
则，所以的取值范围为．
（2）由，可得．
令，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以，故的取值范围为．
17．【答案】(1)答案见解析.
(2)或.
【详解】（1）的定义域为．
当时，在上单调递增．
当时，令，解得，
当时，单调递减，
当时，单调递增．
综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）当时，由（1）知，在上单调递增，
所以，舍去．
当时，在上单调递增，所以，舍去．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，符合题意．
当时，在上单调递减，所以，
解得，符合题意．
综上，或．
18．【答案】(1).
(2).
(3)．
【详解】（1）令，则，解得，
求导可得，令，可得，
所以，即．
（2）设切点为，则，切线方程为．
因为切线经过坐标原点，所以，解得，
故切线方程为，即．
（3）．
设直线，
与的图象的切点坐标分别为，
由，求导得：，在切线斜率为 ，
由，求导得：，在切线斜率为，
则可得
所以，整理得.
同理，当直线与的图象都相切时，得.
故只需有两解．
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
故的取值范围为．
19．【答案】(1).
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）令，则或．
令，则，当且仅当时，等号成立，
即在上单调递增．
设存在正数满足，因为“被2控制”，所以，即，
所以，即，解得，所以的取值范围为．
（2）（ⅰ）解：由可得．
令，知为奇函数．
若，由，解得．
当时，单调递增，
当时，单调递减，则，且．
当时，单调递增且，
当时，单调递增且，当时，单调递减且．
若，当时，单调递减且，
当时，单调递增且，
当时，单调递增且．
当或时，有三个解，所以的取值范围为.
（ⅱ）由函数的对称性知，只需要证明时的情况即可．
当时，的三个零点满足，
只需要证明即可，即证明，即，
当时，单调递增，
则只需要证明
，这显然成立，故“被1控制”．
【方法总结】已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围
(1)直接法：直接根据题设条件构造关于参数的方程(组)或不等式 (组)，通过解方程(组)或不等式(组)确定参数的值或取值范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，化为a＝g(x)的形式，进而转化成求函数的值域问题；
(3)数形结合法：将函数解析式(方程)作移项等变形，转化为两函数图象的交点问题，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解．