2025上海普陀区高考二模数学试卷及参考答案

这是一份2025上海普陀区高考二模数学试卷及参考答案，文件包含普陀区2024学年第二学期高三数学质量调研试卷DGdoc、普陀区2024学年第二学期高三数学质量调研评分解答docx、数学答题卡-202503281pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。

二、选择题

三、解答题
17.（1）连接，与交于点，连接，
由条件得，四边形是菱形，则，
又，，则平面，
又平面，则， ………4分
又，且是中点，则，
则平面，
又平面，则平面平面. ………6分
（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，………4分
设平面的法向量为，由，解得，………6分
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为. ………8分
18.（1）由且，得
或， ………2分
当时，与矛盾，不符合条件；
当时，则，即. ………4分
则. ………6分
（2）由条件得，，，且，
则，即， ………4分
当时，则， ………6分
若，即时，函数是严格减函数；
若，即时，函数是严格增函数，
则函数的单调增区间是，单调减区间是. ………8分
19.（1）设事件为“随机选取一题为B层题”，
则, ………2分
设事件为“至少有2人选题来自B层”，
则； ………6分
（2）12道题中有7题A层，3题B层，2题C层，
则,,
,,………4分
则的分布为，………6分
则期望为.………8分
20.（1）由直线经过点,得
点，又，则， ………2分
即，
则所求的椭圆的方程为. ………4分
（2）设，，，
由得，，………2分
则，，
又，则，
又的面积为，
则， ………4分
即，即或，
则所求的点的坐标为或. ………6分
（3）由点在直线上，向量在直线上的投影为向量，得
，且点的坐标为， ………2分
又，，
则，，，
因为，，所以在和中分别有
，，
则，
化简整理得，， ………4分
由（2）中得，，，
则， ………6分
令，则，
设函数，则，因为，所以，
则，即函数在区间上是严格增函数，
则，即，
则. ………8分
21. 解：（1）设点是函数图像上的一点，点，
则，
且等号当且仅当时，即时成立， ………3分
即，，或，，
则中仅有两个元素. …………4分
（2）设点是函数图像上的一点，点，
则， ………2分
又，且，则当时，取得最小值，
要使得，则，
即，，， …………4分
则曲线在点处的切线斜率为，
则所求的切线方程为. ……………6分
（3）要使得对于任意的，皆有成立，
则函数图像上的点到轴的距离都大于，
设（），则， ………1分
令，则，
则函数在区间上是严格增函数，
又，，
则必存在，使得，即， ………3分
则当时，，即，
当时，，即，
则函数在区间上严格减，在区间上严格增，
则函数在区间上的最小值为，
且时，，
因此，要使得函数图像上的点到轴的距离都大于，
则只需， ……………5分
又，则，
即，
令，又函数在上是严格增函数，
则，即，
则，
即，则满足条件的的取值范围为. ………8分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
等
不唯一
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16