2024-2025学年江苏省无锡市宜兴市高二下学期期中调研考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市宜兴市高二下学期期中调研考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量a=(x,1,2)，b=(1,−y,8)，若a//b，则( )
A. x=−14，y=14B. x=14，y=−4
C. x=14，y=4D. x=−14，y=−4
2.从5名教师中挑选2人，分别担任两个班的班主任，有( )种不同的安排方案．
A. 10B. 15C. 20D. 25
3.盒子中有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，现无放回地依次从中取出一个球.若第一次取出红球记为事件A，第二次取出红球记为事件B，则P(B|A)=( )．
A. 12B. 110C. 310D. 35
4.设a为实数，如果随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a(i=1,2,3)，那么D(X)=( )．
A. 23B. 73C. 49D. 59
5.{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，{a+b，a−b，c}是空间的另一个基底，向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3)，若p=x(a+b)+y(a−b)+zc，则实数x，y，z的值分别为( )．
A. 32，12，3B. 32，−12，3C. 32，12，−3D. −32，12，3
6.某大学一宿舍4名同学参加研究生招生考试，其中两人顺利被录取，还有两人需要调剂，这两名学生准备分别从A，B，C，D，E，F这6所大学中任选三所大学申请调剂，那么他们各自所选择的三所大学中恰好只有一所大学相同的概率为( )．
A. 320B. 920C. 340D. 940
7.已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为线段PC上的点，且PHHC=14，点G在线段AH上，且AGAH=m.若G，B，P，D四点共面，则实数m的值为( )．
A. 23B. 34C. 45D. 56
8.现有一种检验方法，对患Z疾病的人化验结果90%呈阳性，对未患Z疾病的人化验结果98%呈阴性.称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率.已知某地区Z疾病的患病率为0.005，则这种检验方法在该地区的误诊率为( )．
A. 0.616B. 0.716C. 0.816D. 0.916
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于排列数和组合数，下列结论中正确的有( )．
A. A104=A106B. rCnr=nCn−1r−1
C. Cn+1m+1=Cnm+Cnm−1D. nAn−1n−1=n!
10.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1;在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形;随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的有( )．
A. 第35行从左至右的第14个数与第15个数的比为2:3
B. 在第2023行中，第1012个数与第1013个数最大
C. 从杨辉三角形第21行随机取一个数，该数大于2025的概率为1321
D. 记第n+1行的第i个数为ai，则i=1n+12i−1ai=3n
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，点P满足BP=λBC+μBB1(0≤λ,μ≤1)，则下列说法正确的有( )．
A. 若PO⊥平面A1BD，则OP= 3
B. 若D1P//平面A1BD，则点P的轨迹长度为2 2
C. 若λ+μ=1，则OP与DC1所成角的余弦值的取值范围是[12, 32]
D. 若μ=12，0≤λ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈[ 39, 155]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知ξ的概率分布为
设η=3ξ+5，则E(η)= ．
13.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π3，点M是棱C1D1的中点，AB=AD=AA1=2，A1N=λA1D1，AM⋅CN=2，则实数λ的值为 ．
14.设Ck∈{1,2,3,4}，对于有序数组(C1,C2,C3,C4)，记R(C1,C2,C3,C4)为其中包含的不同整数的个数.如R(1,1,1,1)=1，R(1,2,2,2)=2，R(1,2,2,3)=3，R(1,2,3,4)=4.当(C1,C2,C3,C4)取遍44个有序数组时，R(C1,C2,C3,C4)的总和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若(2x−1)2025=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2025x2025(x∈R)．
(1)求a1的值;
(2)求(a0+a2+a4+⋯+a2024)2−(a1+a3+a5+⋯+a2025)2的值. (计算结果可保留指数幂的形式)
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AE=23AP，AF=12AB，AC与DF相交于点O．
(1)求点B到平面DEF的距离;
(2)求直线PC与平面DEF所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
某科技展览会上，展示了编号为1至8的8种型号的无人机.学校为鼓励学生参与创新，购买了每种型号的无人机各一架供学生实验操作．
(1)A同学从8架无人机中任选两架，且这两架无人机编号的数字之和为偶数，A同学有多少种选择?
(2)将买回的8架无人机全部分给甲乙丙三个小组进行实验，甲组分得1架，乙组分得2架，丙组分得5架.共有多少种分配方法?
(3)将买回的8架无人机全部分给甲乙丙三个小组进行实验，每组至少分得两架，一共有多少种分配方法?
(注：要写出算式，结果用数字表示)
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，底面ABCD是等腰梯形，且BC//AD，AD=2DC=2CB，∠ADC=60∘，PC= 2BC，M为AD中点．
(1)求证：PM⊥平面ABCD;
(2)求直线AB与PD所成角的余弦值;
(3)求二面角B−PC−D的正弦值．
19.(本小题17分)
在一个三角形迷宫中，有9个房间，有公共边的两个房间为相邻房间.探险者每次会等概率地选择一个相邻的房间移动过去.如从A→C算一次移动，从A→C→A算两次移动．

(1)探险者从房间C出发，5次移动后在房间I，并且必须经过房间D.求所有可能的移动路径数量;
(2)探险者需要将2个宝藏分别放置在不同的房间中，为了确保宝藏安全，要求这2个房间不相邻.求随机选择2个房间放置宝藏时，满足安全条件的概率;
(3)探险者从房间C出发，目标是到房间H.用X表示探险者到房间H时移动的次数，求P(X=2026)．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.B
6.B
7.D
8.C
9.BD
10.ACD
11.ABD
12.272
13.87
14.700
15.解：(1)a1=C20252024×(2)1×(−1)2024=4050;
(2)令x=1，得a0+a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025=1，
令x=−1，得a0−a1+a2−a3+⋯+a2024−a2025=−32025，
(a0+a2+a4+⋯+a2024)2−(a1+a3+a5+⋯+a2025)2
=(a0+a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025)(a0−a1+a2−a3+⋯+a2024−a2025)
=−32025．
16.解：(1)由PA⊥平面ABCD，且AB、AD⊂平面ABCD，
得PA⊥AB，PA⊥AD，
又底面ABCD为正方形，∴AB⊥AD，∴AB、AD、PA两两垂直，
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,0)、D(0,2,0)、E(0,0,43)，
∴DE=(0,−2,43)，FE=(−1,0,43)，BF=(−1,0,0)，
设平面DEF的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅DE=0m⋅FE=0．∴−2y+43z=0−x+43z=0
令z=3，∴x=4，y=2， ∴m=(4,2,3)
∴点B到平面DEF的距离d=|BF⋅m||m|=|−4| 16+4+9=4 2929
(2)∵P(0,0,2)，C(2,2,0)，则PC=(2,2,−2)，
∴cs=m⋅PC|m|⋅|PC|=8+4−6 16+4+9⋅ 4+4+4= 8729，
∴直线PC与平面DEF所成角的正弦值为 8729
17.解：(1)A同学有C42+C42=12种选择；
(2)共有C81C72C55=168种分配方法；
(3)将8种零件分给甲乙丙三组，每组至少2种，
需要满足a+b+c=8，且a≥2，b≥2，c≥2，
所以可能的整数划分为：第一类为2−2−4分配方法数为：C82C62C44A22A33=1260，
第二类为2−3−3分配方法数为：C83C53C22A22A33=1680，
根据分类加法计数原理共有：1260+1680=2940
18.(1)证明：连接PM，CM，
∵ΔPAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，M为AD中点，设AD=2a，
∴PM⊥AD，PM=12AD=a，
∵等腰梯形ABCD中，AD=2BC，∴AM//BC，AM=BC，∴四边形ABCM为平行四边形，
∴CM//AB，CM=AB，∴CM=a，∴ΔPMC中，PM2+CM2=PC2，∴PM⊥CM，
又PM⊥AD，AD∩CM=M，AD，CM⊂平面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD；
(2)取BC中点N，连接MN，则MN⊥BC，以MN,MD,MP}为正交基底建立空间面直角坐标系．
设AD=2a，则A(0,−a,0)，B( 32a,−a2,0)，P(0,0,a)，C( 32a,a2,0)，D(0,a,0)，PD=(0,a,−a)，
AB=( 32a,a2,0)，
所以cs⟨AB，PD⟩=AB⋅PD|AB||PD|= 24，
故直线AB与PD所成角的余弦值为 24；
(3)PB=( 32a,−a2,−a)，PC=( 32a,a2,−a)，PD=(0,a,−a)，
设平面PBC的一个法向量为n1=(x,y,z)，
由n1·PB=0n1·PC=0，得 3a2x−a2y−az=0 3a2x+a2y−az=0，
取x=2，则y=0z= 3，∴n1=(2,0, 3)，
设平面PCD的一个法向量为n2=(x1,y1,z1)，
由n2⋅PD=0n2⋅PC=0，得ay1−az1=0 3a2x1+a2y1−az1=0,
取x1= 3，则y1=3z1=3，∴n2=( 3,3,3)，
∴cs⟨n1，n2⟩=n1⋅n2|n1|·n2=57，
∴二面角B−PC−D的平面角的正弦值为2 67．
19.解：(1)探险者从房间C出发，5次移动后到达房间I，且必须经过房间D，
可能的移动路径为C→A→C→D→H→I，C→B→C→D→H→I，
C→D→C→D→H→I，C→D→H→D→H→I，
C→D→H→G→H→I，C→D→H→I→H→I，共6种．
(2)将2个宝藏放置在不同的房间，任取两个房间相邻有9种情况，
这两个房间不相邻的概率为1−9C92=34；
(3)设探险者经过n次移动后到达房间H的概率为pn，
探险者从房间C出发，经过偶数次移动后一定在房间C，F，H之一，
探险者从房间C或F经过两次移动到达房间H的概率均为13×12=16，
探险者从房间H经过两次移动到达房间H的概率为13+13×12+13×12=23，
∴pn=16(1−pn−2)+23pn−2，
∴pn=16(1−pn−2)+23pn−2=12pn−2+16
又p0=0，p2=16，∴pn=13[−(12)n2]，
∴P(X=2026)=13[−(12)1013] ξ
1
2
3
4
P
16
16
13
13