辽宁省锦州市2024届高三上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

这是一份辽宁省锦州市2024届高三上学期1月期末考试数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了若随机变量，则下列说法错误的是，若，则下列结论一定正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号：答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量满足，则（ ）
A.-12 B.-20 C.12 D.20
4.《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，它标志着中国古代数学体系的形成.其中记载了这样一个数学问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰“我羊食半马.”马主曰“我马食半牛.”今欲衰偿之，问牛主出几何.意思是：牛､马､羊吃了别人的禾苗，苗主人要求三牲畜的主人共赔偿他五斗粟，羊的主人说：“我的羊吃了马一半的量.”马的主人说：“我的马吃了牛一半的量.”现在若依据三牲畜吃苗的量按比例赔偿苗主，牛主应偿还（ ）粟？（1斗=10升）
A.1斗升 B.1斗升 C.2斗升 D.2斗升
5.若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A.的密度曲线与轴只有一个交点
B.的密度曲线关于对称
C.
D.若，则
6.若，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，过作准线的垂线，垂足为.若线段的垂直平分线与准线交于点，点到直线的距离为，则当时，直线的方程为（ ）
A.或
B.或
C.或
D.或
8.已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（ ）
A. B. C. D.
10.关于函数有下列命题，其中正确的是（ ）
A.的图像关于点对称
B.在区间上是单调递减函数
C.若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为
D.的图像关于直线对称
11.如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的有（ ）
A.当时，是一个点
B.当动点到直线的距离之和为时，是椭圆
C.当直线与平面所成的角为时，是抛物线
D.当直线与平面所成的角为时，是双曲线
12.已知函数，若关于的方程有四个不同的解且，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知事件与事件互斥，如果，那么__________.
14.曲线在处的切线的倾斜角为，则__________.
15.双曲线的焦距为，已知点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为__________.
16.已知矩形垂直于点垂直于点，将矩形沿对角线折起，使异面直线成角，若四点都在球的表面上，则球的半径为__________，此时两点间距离为__________.（第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
18.（本题满分12分）
已知为数列的前项和，，且__________.
从①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答下列问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）记求数列的前项的和.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19.（本题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，其外接圆半径为，.
（1）求；
（2）求的面积.
20.（本题满分12分）
为不断提升社区服务质量，某物业公司监察部门对其服务的甲､乙两个社区开展“服务满意度大调查”，随机对两社区多名业主发放调查问卷，对物业公司服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中为非常不满意，为不满意，为一般，为基本满意，为满意，为非常满意.
（1）求乙社区调查结果图中的值并估计乙社区调查结果的分位数（精确到0.01）；
（2）已知调查问卷中有来自甲社区业主.
①若在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取一份，请估计这份问卷恰好来自甲社区业主的概率；
②为了解业主对物业公司服务的具体意见，在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取70份进行细致分析，求这70份问卷中来自甲社区业主的问卷份数的期望.
21.（本题满分12分）
已知椭圆的短轴长为4，离心率为.直线与椭圆交于两点，点不在直线上，直线与交于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率.
22.（本题满分12分）
已知函数的最小值为0，其中.
（1）求的值；
（2）若对任意的，有成立，求实数的最小值；
（3）证明：.
2023~2024学年度第一学期期末考试
高三数学（参考答案及评分标准）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-8CDAC BDAB
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.CD 10.ABC 11.AD 12.ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 16.5，或（第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
（1）证明：连接，交于点，连接，因为为中点，为中点，
所以
又因为平面平面，
所以平面.
（2）解：如图，以为坐标原点，分别以，
的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得.
设直线与平面所成角为，且，
所以，
所以，
即直线与平面所成角的余弦值为.
18.（本题满分12分）
解：（1）由，当时，，
两式相减得，即，
所以数列为等比数列，公比为.
选①，由成等差数列，
可得，即，解得，
所以
选②由成等比数列，得，
即，解得，
所以
选③，由，得，
所以
（2）当为奇数时，
记前项的和中的奇数项之和为，
当为偶数时，，
记前项和中的偶数项之和为，
故
19.（本题满分12分）
解：（1）因为且外接圆半径为1，根据正弦定理得，
即，
代入，即，
由于，则，所以，
则，解得.
（2）因为，根据正弦定理得，
即
由（1）知，所以，所以，
由余弦定理得，
解得.
所以
20.（本题满分12分）
解：（1）由频率之和为1得：，
解得：
这组的频率为：这组的频率为：，
，
故分位数在组，设分位数为，
则，解得
故分位数为89.09
（2）①任抽一份问卷，是来自甲社区业主的问卷记作事件A，
问卷评分不足60分记作事件.
根据题意可知：
所以
，
所以，，
所以，从不足60分的问卷中抽取一份，该份问卷是来自甲社区业主问卷的概率为
②70份评分不足60分的调查问卷中来自甲社区业主的问卷份数，
所以
21.（本题满分12分）
解：（1）因为椭圆的短轴长为4，所以，
因为离心率为，所以，又，
所以，
所以椭圆的方程
（2）设，联立，可得，
，
，
因为不在直线上，所以，即，
则直线方程为：，令，则，
因为直线与交于点，所以，
所以，
将代入，可得，
所以直线的斜率为2.
22.（本题满分12分）
解：（1）
由得，
所以时在上单调递增；
时，在上单调递减，
所以，所以
（2）
设，所以对任意恒成立
①时，不符合题意
②当时，在上单调递减；
在上单调递增，
所以时，不符合题意
③当时，在恒成立，所以在上单调递增，
，符合题意，
综上，
所以的最小值为.
（3）由（2）知：令得：，
令得：，
当时，（1）
当时，，
所以，（2）
，（3）
，（n）
将（1）（2）（3），，（n）式相加得：
不等式左边：
不等式右边：
；
所以.