中考数学专题复习第03讲 分式(练习)(解析版)

这是一份中考数学专题复习第03讲 分式(练习)(解析版)，共45页。试卷主要包含了先化简，再求值等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc182603917"
\l "_Tc182603918" ?题型01 分式有、无意义的条件
\l "_Tc182603919" ?题型02 分式值为0的条件
\l "_Tc182603920" ?题型03 求使分式值为整数时未知数的值
\l "_Tc182603921" ?题型04 分式基本性质的运用
\l "_Tc182603922" ?题型05 约分
\l "_Tc182603923" ?题型06 分式运算
\l "_Tc182603924" ?题型07 判断分式运算的错误步骤
\l "_Tc182603925" ?题型08 分式化简求值
\l "_Tc182603926" ?题型09 分式运算的应用
\l "_Tc182603927" ?题型10 分式的规律探究问题
\l "_Tc182603928" ?题型11 与分式运算有关的新定义问题
\l "_Tc182603929"
\l "_Tc182603930"
?题型01 分式有、无意义的条件
1．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数y=x+3x-2的自变量的取值范围是（ ）
A．x≤-3B．x≥-3且x≠2
C．x≤-3且x≠2D．x≥-3
【答案】B
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x-2≠0，
解得：x≥-3且x≠2，
故选：B．
2．（2024·全国·模拟预测）在函数y=-3x-2-x+1中，自变量x的取值范围是
【答案】x≥-1且x≠2
【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数为非负数求解可得答案．
【解答】解：根据题意，得：x-2≠0且x+1⩾0，
解得x⩾-1且x≠2，
故答案为：x⩾-1且x≠2．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式2x+ax-b（a，b为常数）当x=2时，分式无意义，当x=0.5时分式的值为0，则ba= ．
【答案】12/0.5
【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当x=2时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当x=0.5时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键．
【详解】解：由题意知：当x=2时，分式无意义，
∴2-b=0，
∴b=2，
当x=0.5时，分式的值为0，
∴2x+ax-2=1+a0.5-2=0，
解得：a=-1，
∴ba=2-1=12，
故答案为：12．
4．（2024·河北邢台·模拟预测）已知分式3x-5x+m（m为常数）满足如下表格中的信息，则m= ，p= ．
【答案】 -3 4
【分析】本题考查了分式无意义的条件和解分式方程，由x=3时，分式无意义，可得3+m=0，即可求出m=-3，进而得出分式，再把x=p代入分式，得到分式方程3p-5p-3=7，解分式方程即可求解，熟练掌握分式无意义的条件和解分式方程的方法是解题的关键．
【详解】解：由表格可知，当x=3时，分式无意义，
∴3+m=0，
∴m=-3，
∴分式为3x-5x-3，
又由表格知，当x=p时，3p-5p-3=7，
即3p-5=7p-3，
解得p=4，
经检验，p=4是原方程的解，
∴p=4，
故答案为：-3，4．
5．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：a2+4a+4a2-4×a-2a2+2a-1a2+a，然后从-2，0，1，2中选一个合适的a值代入求解．
【答案】1a+1，当a=1时，原式=12
【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件得出a=1，代入计算即可得解．
【详解】解：a2+4a+4a2-4×a-2a2+2a-1a2+a
=a+22a+2a-2×a-2aa+2-1aa+1
=1a-1aa+1
=a+1-1aa+1
=1a+1，
∵a2-4≠0，a2+2a≠0，a2+a≠0，
∴a≠0，-2，2，-1，
∴a=1，
∴当a=1时，原式=11+1=12．
?题型02 分式值为0的条件
1．（2024·广西·模拟预测）如果分式x2-2xx的值为零，那么x值的为（ ）
A．0或2B．2C．0D．不存在
【答案】B
【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握当分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式值为零的条件进行解答即可．
【详解】解：∵分式x2-2xx的值为0，
∴x2-2x=0且x≠0，
∴x=2．
故选：B．
2．（2024·江苏泰州·一模）对于分式 1-m21-m的值，下列说法一定正确的是（ ）
A．不可能为0B．比1大C．可能为2D．比m大
【答案】D
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质．
【详解】A、当1-m21-m=1+m1-m1-m，当m=-1时，分式的值为0，原选项说法错误，不符合题意；
B、1-m21-m=1+m1-m1-m=1+m，可能比1小，原选项说法错误，不符合题意；
C、当1-m21-m=1+m1-m1-m=1+m=2时，m=1，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意；
D、1-m21-m=1+m1-m1-m=1+m，比m大，原选项说法正确，符合题意；
故选：D．
3．（2024·贵州黔东南·一模）若分式x-2x+2值为0，则x的取值范围是（ ）
A．x=-2B．x=2C．x≠-2D．x=±2
【答案】B
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案．
【详解】解：由分式x-2x+2值为0，得
|x|-2=0且x+2≠0．
解得x=2，
故选：B．
4（2024·湖南·模拟预测）当x=3时，分式x-ax+4的值为0，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了分式值为零的知识，熟练掌握分式为零的特征是解题关键．若分式值为0，则有分母不为0，分子为0，据此即可获得答案．
【详解】解：当x=3时，若分式x-ax+4的值为0，
则有x+4=3+4=7≠0，x-a=3-a=0，
解得a=3．
故答案为：3．
5．（2024·辽宁铁岭·二模）（1）-2-π-3.140+12-2-2sin60∘+12--12024，
（2）先化简，再求值：3-x2x2-4x÷5x-2-x-2的值，其中x使分式x2-4x-2值为0．
【答案】（1）4+3；（2）12x(3+x)，-14
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算、分式的化简求值、分式的值等于零等．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算进行计算即可；
（2）相加分式的混合运算化简原式，再求出使分式x2-4x-2值为0的x的值，代入计算即可．
【详解】解： -2-π-3.140+12-2-2sin60°+12--12024
=2-1+4-2×32+23-1
=2-1+4-3+23-1
=4+3；
（2）3-x2x2-4x÷5x-2-x-2
=3-x2xx-2÷5-x+2x-2x-2
=3-x2xx-2×x-25-x2+4
=3-x2xx-2×x-23+x3-x
=12x3+x；
∵分式x2-4x-2值为0，
即x2-4=0且x-2≠0，
解得：x=-2；
当x=-2时，原式=12×-23-2=-14．
?题型03 求使分式值为整数时未知数的值
1．（2024·江苏扬州·三模）能使分式6x+212x-3值为整数的整数x有 个．
【答案】8
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将6x+212x-3转化为3+302x-3，进一步求解即可．
【详解】解：6x+212x-3=6x-9+302x-3=32x-3+302x-3=3+302x-3，
∵分式的值为整数，
∴302x-3的值为整数，
∴2x-3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30，
∵x也是整数，
∴2x-3=±1,±3,±5,±15，
解得：x=2,x=1,x=3,x=0,x=4,x=-1,x=9,x=-6；
∴能使分式6x+212x-3值为整数的整数x有8个．
故答案为：8．
2．（2023·河北石家庄·模拟预测）代数式x-2x2-4x+4÷1x+6的值为F．则F为整数值的个数有（ ）
A．0个B．7个C．8个D．无数个
【答案】B
【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定F为整数的x的值，即可确定F的值的个数．
【详解】解：x-2x2-4x+4÷1x+6
=x-2(x-2)2×(x+6)
=x+6x-2
=x-2+8x-2
=1+8x-2，
∵代数式x-2x2-4x+4÷1x+6的值为F，且F为整数，
∴8x-2为整数，且x≠2
∴x-2的值为：1,8,4,-1,-8,-2,-4，共7个，
∴对应的F值有7个，
故选：B．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值及分式有意义的条件是解题关键．
3．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）已知A=6a+6a2-2a+1，B=2a-1，计算A÷1+B= ．若A÷1+B的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】 6a-1 16
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值为整数，根据分式的混合运算法则求得A÷1+B=6a-1，再根据A÷1+B的值为正整数，可得a-1=1或2或3或6，即可求解．理解分式的值为整数时对分式的分子与分母的要求是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：A÷1+B=6a+6a2-2a+1÷1+2a-1
=6a+1a-12÷a-1+2a-1
=6a+1a-12⋅a-1a+1
=6a-1，
∵A÷1+B的值为正整数，a为整数
∴a-1=1或2或3或6，
∴符合题意的a=2，3，4，7，
∴满足条件的所有整数a的和为2+3+4+7=16，
故答案为：6a-1，16．
4．（2023·重庆·模拟预测）已知两个多项式A=x2+3x+3，B=x2-3x+3（x为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若A+B=14，则x=±2；
②若A-B-8+A-B+4=12，则-23≤x≤43；
③若A×B=0，则关于x的方程无实数根；
④若x为整数x≠1，且A-7B-1的值为整数，则x的取值个数为5．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解，③由A×B=0，可得x2+3x+3=0或x2-3x+3=0，再验证这两个方程是否有实数根；④列代数式，再化简，直接代数验证即可．
【详解】解：①∵A+B=12，
∴x2+3x+3+x2-3x+3=12，
解得：x=±3，
∴①不正确；
②∵A-B-8+A-B+4=12，
∴x2+3x+3-x2-3x+3-8+x2+3x+3-x2-3x+3+4=12，
∴6x-8+6x+4=12，
当x43时，6x-8+6x+4=12，
解得x=43（不符合题意，舍去），
∴②正确；
③∵A×B=0，
∴x2+3x+3x2-3x+3=0，
∴x2+3x+3=0或x2-3x+3=0，
当x2+3x+3=0时，Δ=32-4×3=-3c>0，M=ba，N=bΔcaΔc，其中“Δ”代表“＋、－、×、÷”中的一种运算符号，下列说法正确的是（ ）
A．若“Δ”代表的是“＋”，则M0，
∴a-b>0，a-c>0，
∴M-N=ca-baa-c>0，
∴M>N，故B错误，不符合题意；
若“Δ”代表的是“×”，则N=bΔcaΔc=bcac．
∵a>b>c>0，
∴N=ba=M，故C错误，不符合题意；
若“Δ”代表的是“÷”，则N=bΔcaΔc=b÷ca÷c．
∵a>b>c>0，
∴N=ba=M，故D错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查分式的基本性质和分式的混合运算．掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变和分式的混合运算法则是解题关键．
?题型05 约分
1．（2024·河南商丘·模拟预测）化简：2x2-2xy6x2y=x-y，括号内应填（ ）
A．6xyB．3yC．3xD．3xy
【答案】D
【分析】本题考查了分式的约分，把分子分解因式，然后约分即可．
【详解】解：∵2x2-2xy6x2y=2xx-y6x2y=x-y3xy，
∴括号内应填3xy．
故选D．
2．（2023·山西阳泉·一模）如图是徐同学的答卷，他的得分应是（ ）

A．25分B．50分C．75分D．100分
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件，分式的化简，逐一判断即可解答．
【详解】解：若1x-1有意义，
则x-1≠0，
即x≠1，
故1正确，徐同学回答正确；
若x+1x-2的值为0，
则x+1=0，
即x=-1，
故2错误，徐同学回答错误；
n2mn=n⋅nm⋅n=nm，
故3正确，徐同学回答正确；
3xy2÷6y2x=3xy2⋅x6y2=12x2，
故4正确，徐同学回答正确；
那么最后得分为：25×3=75 (分)，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的运算及性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2024·宁夏银川·三模）若ab=3，则分式2a2-2abab-b2的值为 ．
【答案】23
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子分母因式分解，再约分化简，然后整体代值即可得出答案．
【详解】解：∵ ab=3，
∴ 2a2-2abab-b2
=2aa-bba-b
=2ab．
故答案为：23．
4．（2024·广东·二模）已知a=0.3，b=0.1，则6ab+9a2+b23a+b= ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解．
【详解】解：6ab+9a2+b23a+b
=3a+b23a+b
=3a+b；
当a=0.3，b=0.1时，原式=3×0.3+0.1=0.9+0.1=1．
故答案为：1．
5．（2024·浙江宁波·一模）代数式4ab+6ac+12bca2+4b2+9c2的最大值为 ．
【答案】2
【分析】该题主要考查了分式的化简以及完全平方公式的运用，解题的关键是运用完全平方公式进行变形；
先运用完全平方公式确定a2+4b2≥4ab，a2+9c2≥6ac, 4b2+9c2≥12bc,再化简即可；
【详解】解：∵a-2b2=a2+4b2-4ab≥0, a-3c2=a2+9c2-6ac≥0, 2b-3c2=4b2+9c2-12bc≥0,
∴a2+4b2≥4ab，a2+9c2≥6ac, 4b2+9c2≥12bc,
∴4ab+6ac+12bc≤a2+4b2+a2+9c+4b2+9c2=2a2+4b2+9c2，
∴4ab+6ac+12bca2+4b2+9c2≤2a2+4b2+9c2a2+4b2+9c2=2，
故答案为：2．
?题型06 分式运算
1．（2024·河北邢台·模拟预测）化简(-y2x)2÷y×1y，正确的是（ ）
A．-y4x2B．y4x2C．-y2x2D．y2x2
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果．
【详解】(-y2x)2÷y×1y
=y4x2×1y×1y
=y2x2；
故选：D．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算32m-n-2m-n2m-n2的结果是 ．
【答案】22m-n/2-n+2m
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．先把两个分式通分，然后按照同分母的分式相减，再把分子分解因式，进行约分即可．
【详解】解：32m-n-2m-n2m-n2
=3(2m-n)(2m-n)2-2m-n(2m-n)2
=6m-3n-2m+n(2m-n)2
=4m-2n(2m-n)2
=2(2m-n)(2m-n)2
=22m-n，
故答案为：22m-n．
3．（2024·四川广安·模拟预测）已知a2-3a+1=0，则4a2-9a-2+91+a2的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由a2-3a+1=0变形得a2-3a=-1,a2+1=3a，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可；
【详解】解：∵a2-3a+1=0，
∴a2-3a=-1,a2+1=3a，
∴4a2-9a-2+91+a2
=4(a2-3a)+3a-2+91+a2
=-4+3a-2+93a
=3a-6+3a
=3a2-6a+3a
=3a2-3a+3a+3a
=-3+3a+3a
=3．
故答案为：3.
4．（2024·河北保定·三模）图1中阴影部分的面积为S1（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为S2（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），a>b>0，设k=S1S2，则k的取值范围为 ．
【答案】10，可得00，
∴a-b≠0，
∴k=S1S2=a2-b2a2-ab=a+ba-baa-b=a+ba=1+ba，
∵a>b>0，
∴0ab．
【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
2．（2023·福建福州·一模）福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为ama>1的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为a-1m的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了500kg．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
【答案】“飘香2号”小麦的单位面积产量高，理由见解析
【分析】根据题意分别表示出飘香1号和2号的单位面积产量，比较即可．
【详解】解：“飘香1号”小麦的试验田面积是a2-1m2，单位面积产量是500a2-1kg/m2；
“飘香2号”小麦的试验田面积是a-12m2，单位面积产量是500a-12kg/m2，
∵a>1，即a-1>0，
∴a-12-a2-1=a2-2a+1-a2+1=-2a+2=-2a-10，a2-1>0，
∴500a2-10，则m+n2>2mnm+n，
故小李两次加油的平均单价更低．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知p=km,q=km+1k>0,m≠0,m≠-1．
方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．
解： p-q=km-km+1=km+1-km=k，
因为k>0，所以p-q>0，即p一定大于q．
你觉得方方说法正确吗？为什么？
【答案】不正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据分式加减运算法则求出p-q=km-km+1=kmm+1，然后分情况进行讨论即可．
【详解】解：方方说法不正确，理由：
∵p-q=km-km+1
=km+1mm+1-kmmm+1
=kmm+1，
而方方在解答过程中将分母去掉了，
∴方方说法不正确．
正确的解法为：
∵p-q=km-km+1
=km+1mm+1-kmmm+1
=kmm+1，
∵k>0，当m>0时，mm+1>0，
∴p-q>0，
∴p大于q；
∵k>0，当m0，
∴p-q>0，
∴p大于q；
∵k>0，当-1