上海市嘉定区2023届高三上学期质量调研（一模）数学试卷 附答案

这是一份上海市嘉定区2023届高三上学期质量调研（一模）数学试卷 附答案，共11页。试卷主要包含了 如图为正六棱柱等内容，欢迎下载使用。

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.
1. 已知集合，是整数集，则 .
2. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为 .
3. 直线与直线的夹角大小为 .
4. 已知，若关于的方程解集为，则的值为 .
5. 已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 .
6. 某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：
24 25 36 27 28 32 20 26 29 30 26 33
据此预计，该果园的总产量为 千克以及第百分位数为 千克.
7. 已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则 .
8. 若函数的值域是，则此函数的定义域为 ．
（第9题图）
9. 如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.
10. 关于的方程的解集为_________.
11. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 .
12. 已知抛物线，动点自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当运动至时，点的瞬时速度的大小为 .
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
13. 已知，那么“”是“为钝角三角形”的（ ）
充分条件但非必要条件 必要条件但非充分条件
充要条件 以上皆非
14.已知四条双曲线，，，，，
关于下列三个结论的正确选项为 （ ）
= 1 \* GB3 ①的开口最为开阔；
= 2 \* GB3 ②的开口比的更为开阔；
= 3 \* GB3 ③和的开口的开阔程度相同.
只有一个正确 只有两个正确 均正确 均不正确
15.甲、乙两人弈棋，根据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
元 元 元 元
16. 中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值. 若据此证明，则正整数至少等于（ ）

三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，,
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
18．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
（1）求和的调和中项；
（2）已知调和数列，，，求的通项公式.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
李先生属于一年工作天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为公里.考虑从两款车型中选择其一，款车是燃油车，款车是电动车,售价均为万元.现提供关于两种车型的相关信息:
款车的油耗为升/百公里，油价为每升至元.车险费用元/年.购置税为售价的.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里；
款车的电耗为度/百公里，电费为每度至元.车险费用元/年.国务院年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为年，更换费用为万元.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里.
除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少个，不超过个）；
为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
如图所示，由半椭圆和两个半圆、
组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心，
（1）求的方程；
（2）若点分别在上运动，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点在曲线上运动，点，求的取值范围.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
已知，
求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
已知、是正整数,，，求证：是满足条件的唯一一组值.
2022学年第一学期高三年级数学参考答案与评分标准
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.
1. ；2. ；3. ；4.；5. ；6. ， ；7. ；
8. ；9. ；10. ；11. ；12.
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
13. ；14. ；15. ；16.
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
（1）【解答】
正四棱柱----------------3分
平面，又平面
平面平面.得证. -------------------3分
（2）【解答】
设点到平面的距离为，
--------3分
,又平面， ----------3分
由为所求. ---------2分
18．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
（1）【解答】
设和的调和中项为，依题意得：、、依次成等差数列，--------4分
所以，即为所求. ---------2分
（2）【解答】
依题意，是等差数列，设其公差为，，-------4分
所以，得为所求.------4分
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
（1）【解答】 李先生可能还需要考虑的因素有：
1、考虑非通勤时段的车辆使用情况
2、油价和电价的变化
3、工作单位能否提供免费充电
4、电动车的国家减免政策的变化
5、车辆的外观、内饰与品牌效应
6、车牌费用
（写出一条即可得2分）
（2）【解答】假设仅考虑通勤时的车辆费用，油价和电价保持相对稳定，电动车的免购置税政策保持不变.计算时取价格区间的中位数即电价元/度、油价元/升.
车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.
写出至年任意一年中的一组对比数据，-------4分；
例如：
款车使用年的总费用为：
款车使用年的总费用为：
所以，如果李先生打算开年就按二手车卖掉，可以选款车.
再写出至年任意一年中的一组对比数据，------2分.
（两组数据写出其一，给4分.均写，给6分）
结论：
使用年数不超过年，建议买款车；------1分
使用年数超过年，建议买款车.---------1分
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
（1）【解答】
依题意，，所以，---2分
于是的方程为 ------2分
（2）【解答】
由对称性，不妨设，，
,------------4分
当三点共线，同时三点共线，，
此时,. --------------2分
（3）【解答】
曲线关于轴对称，不妨设点在曲线
或曲线的右半部分上运动. ----1分
= 1 \* GB3 ①当点在曲线上运动，
设，.
，
； ------3分
= 2 \* GB3 ②当点在曲线上运动，
设，.
,
, -------3分
综合 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②，. ---1分
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
（1）【解答】的导函数为，令，驻点为，
----2分
列表：
所以，函数在上是严格减函数. ---2分
（2）【解答】判断， -----------2分
下面证明：
由（1），，即，所以，
由的单调性，. ---------3分
推广：对于实数，若，则即（*）. ----------1分
（3）【解答】因为，可见满足， -------2分
下面证明唯一性：
= 1 \* GB3 ①若，由*可知，与矛盾； --------2分
= 2 \* GB3 ②若，则即，与矛盾； --------2分
= 3 \* GB3 ③若，则即，容易验证，成立，
若，由*可知，则，于是，与矛盾.
综合 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③，是满足条件的唯一一组值. --------2分极大值