湖北省鄂州市2024-2025学年高三下学期一模 数学试卷

这是一份湖北省鄂州市2024-2025学年高三下学期一模 数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过( 7,0)和(0,2)两点，则椭圆Γ的焦距为( )
A. 2B. 4C. 3D. 2 3
2.已知全集U={x|x∈N,x≤9}，A={1,2,6}，B={6,7,8}，则{1,2}可以表示为( )
A. (∁UA)∩BB. (∁UB)∩AC. ∁U(A∩B)D. ∁U(A∪B)
3.将函数f(x)=sinx+csx向右平移k个单位后，所得的函数g(x)为奇函数，则k的最小值为( )
A. 34πB. 56πC. π4D. π6
4.已知sin(α+π6)=−23，则cs(2α+π3)=( )
A. 19B. 17C. −19D. −17
5.随着春节申遗成功，世界对中国文化的理解和认同进一步加深.某学校为了解学生对春节习俗的认知情况，随机抽取了100名学生进行了测试，将他们的成绩适当分组后，画出的频率分布直方图如图所示，则下列数据一定不位于区间[80,85)内的是( )
A. 众数B. 第70百分位数C. 中位数D. 平均数
6.已知复数z=x+(y−2)i，若|z|≤2，则x≥y的概率为( )
A. 14−12πB. π−3C. π4−12D. 12−1π
7.已知函数f(x)=ex−e−x，若∀x1≥0，x2≤0，x1+x2>0，均有f(x1)+f(x2)x1+x2>λ，则λ的最大值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
8.在三棱锥P−ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，PA=2，BC=3，则三棱锥P−ABC的体积的最大值为( )
A. 735B. 214C. 233D. 132
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数的图像绕坐标原点沿逆时针旋转π4后得到的曲线仍为一个函数的图像的有( )
A. f(x)= 3xB. f(x)=x2
C. f(x)=ln(x+1)(x≥0)D. f(x)=(12)x
10.设5个正实数组成公差大于0的等差数列，记其首项为a，公差为d，且这5个数中有3个数组成等比数列，则ad的值可能为( )
A. 14B. 12C. 1D. 2
11.已知非零平面向量a，b，c，d满足：a+b+c+d=0，(a−b)⊥(c−d)，且sin⟨a+b，a−b⟩=12，记w1=|a||b|，w2=|a|⋅|c||b|⋅|d|，则( )
A. w1的最小值为2− 3B. w1的最大值为2+ 3
C. w2的最小值为2 3−3D. w2的最大值为2 3+3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设正整数数列{an}满足an+2⋅an+1⋅an=10(n≥1)，a3=5，则a623=______.
13.已知函数f(x)=(x2+1)12−ax在[0,+∞)单调递减，则a的取值范围为______.
14.一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色.则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望E(X)=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且sin2B=sinA−sinC.
(1)若A=π4，求B；
(2)若a=c+1，b=3，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
如图，棱长为3的正方体ABCD−EFGH中，平面BEG与直线DF交于点O.
(1)证明：O为△BEG的重心；
(2)求二面角O−BC−D的余弦值；
(3)求三棱锥O−BCD外接球的体积.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=a3x(x−3)2−a−1(a>0)有两个零点.
(1)求a的值；
(2)证明：当10，
所得的函数g(x)= 2sin(x+π4−k)，
若g(x)为奇函数，则g(0)= 2sin(π4−k)=0，
k的最小值为π4.
故选：C.
结合三角函数图象的平移变换及奇函数性质即可求解．
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，还考查了奇函数性质的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵sin(α+π6)=−23，
∴cs(2α+π3)=1−2sin2(α+π6)
=1−2×(−23)2=19.
故选：A.
利用二倍角的余弦公式可求得结果．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：对于A，众数为80+852=82.5∈[80,85),故A正确；
对于BC，x=1−5(0.012+0.024×2+0.036+0.060)5=0.044，
设中位数为m，第70百分位数为n，
∵(0.024+0.036)×5=0.3−f(x2)+λx2=f(−x2)−λ(−x2)，
令g(x)=f(x)−λx=ex−e−x−λx，则g(x1)>g(−x2)，
由题意可知x1≥0，−x2≥0，x1>−x2，
所以函数g(x)=ex−e−x−λx在区间[0,+∞)上为增函数，
所以g′(x)=ex+e−x−λ≥0在[0,+∞)上为增函数，则≤ex+e−x在[0,+∞)上为增函数，
由基本不等式可得ex+e−x≥2 ex⋅e−x=2，
当且仅当ex=e−x时，即当x=0时，等号成立，故λ≤2，
所以λ的最大值为2.
故选：D.
分析函数f(x)为奇函数，由已知不等式可得出f(x1)−λx1>f(−x2)−λ(−x2)，构造函数g(x)=f(x)−λx，可知函数g(x)在区间[0,+∞)上为增函数，则g(x)≥0在区间[0,+∞)上恒成立，结合参变量分离法与基本不等式可求得实数的最大值．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：如图，将三棱锥P−ABC放于平行六面体AEPF−GBHC中，
则EF//BC，EH//AC，又PA⊥BC，PB⊥AC，
则PA⊥EF，PB⊥EH，又四边形PEBH，四边形PFAE为平行四边形，
则四边形PEBH，四边形PFAE为菱形，
则EF=BC=3，PE=PF=PH= (PA2)2+(BC2)2= 132，
注意到VAEPF−GBHC=VC−PFA+VA−BGC+VP−BHC+VB−PEA+VP−AHC，
又VC−PFA=VA−BGC=VP−BHC=VB−PFA=16VAEPF−GBHC，
则VP−ABC=13VAEPF−GBHC，
设PH与底面HBGC夹角为θ，
则VAEPF−GBHC=SYHBGC⋅PHsinθ=12PA⋅EF⋅PHsinθ≤12×2×3× 132=3 132，
当且仅当sinθ=1时取等号，
则VP−ABC=13VAEPF−GBHC≤ 132.
故选：D.
将三棱锥放置于一平行六面体中，使P，A，B，C成为平行六面体的顶点，由PA⊥BC，PB⊥AC可得该平行六面体各边相等，据此可得答案．
本题考查锥体体积的计算，属于难题．
9.【答案】ACD
【解析】解：函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，有唯一确定的y与之对应，
即函数图像与任意一条垂直于x轴的直线最多只有一个交点，
逆时针旋转π4后得到的曲线，如果仍为一个函数的图像，
则需函数f(x)的图像与任一斜率为1的直线y=x+b(b∈R)最多只有一个交点，
结合函数图像可知，
对于A，f(x)= 3x的图像与直线y=x+b(b∈R)只有一个交点，故A正确；
对于B，f(x)=x2的图像与直线y=x有两个交点(0,0)，(1,1)，故B错误；
对于C，f(x)=ln(x+1)，f′(x)=1x+1，f′(0)=1，
所以f(x)=ln(x+1)的图像，在点(0,0)处的切线方程为y=x，
f(x)=ln(x+1)(x≥0)的图像与直线y=x+b(b∈R)最多只有一个交点，故C正确；
对于D，f(x)=(12)x的图像与直线y=x+b(b∈R)只有一个交点，故D正确．
故选：ACD.
函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解．
本题主要考查函数的定义、函数的图象和性质，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：5个正实数组成公差大于0的等差数列，
记其首项为a，公差为d，且这5个数中有3个数组成等比数列，
由题意知等差数列的5个正实数为a，a+d，a+2d，a+3d，a+4d，
若a，a+d，a+2d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+d)2=a(a+2d)，解得d=0，与题意不符；
若a，a+d，a+3d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+d)2=a(a+3d)，解得d2=ad，即ad=1，符合题意；
若a，a+d，a+4d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+d)2=a(a+4d)，解得d2=2ad，即ad=12，符合题意；
若a+d，a+2d，a+3d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+2d)2=(a+d)(a+3d)，解得d=0，与题意不符；
若a+d，a+2d，a+4d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+2d)2=(a+d)(a+4d)，解得ad=0，与题意不符；
若a+d，a+3d，a+4d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+3d)2=(a+d)(a+4d)，解得ad=−5d2，与题意不符；
若a+2d，a+3d，a+4d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+3d)2=(a+2d)(a+4d)，解得d=0，与题意不符；
若a，a+2d，a+3d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+2d)2=a(a+3d)，解得4d2=−ad，与题意不符；
若a，a+2d，a+4d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+2d)2=a(a+4d)，解得d2=0，与题意不符；
若a，a+3d，a+4d成等比数列，
则由等比数列的性质得(a+3d)2=a(a+4d)，解得d2=−29ad，与题意不符；
综上，ad=1或ad=12.
故选：BC.
结合等差数列，等比数列的性质即可求解．
本题考查等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由已知条件可绘制如图所示图形，
AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，M为AC中点，BM⊥DM，
sin∠AMB=12，cs∠AMB=± 32，sin∠AMD= 32，cs∠AMD=± 32，
设AM=1，AB>BC，
w1=|a||b|，w12=AB2BC2=1+BM2+ 3BM1+BM2− 3BM或w12=AB2BC2=1+BM2− 3BM1+BM2+ 3BM，
设BM=x，可统一写成w12=1+x2+ 3x1+x2− 3x(x∈R)，
∴(w12−1)x2−(w12+1) 3x+w12−1=0有实数根，
判别式大于等于0，通过代入和化简，得到关于w1的四次方程w14−14w12+1≤0，
解得w1的取值范围为[2− 3,2+ 3]，
∴w1的最小值为2− 3，故A正确；
w1的最大值为2+ 3，故B正确；
同理得|c||d|的取值范围为[ 33, 3]，
w2=|a|⋅|c||b|⋅|d|，通过以上分析，可以推出w2的取值范围为[2 3−32,2 3+3),
∴w2的最小值为2 3−32，故C错误；
w2的最大值为2 3+3，故D正确．
故选：ABD.
利用数形结合思想，使用余弦定理得到表达|a||b|，|c||d|，转化为二次方程有实数解的问题，利用判别式分别求得其范围，进而得解．
本题考查数形结合、余弦定理、二次方程有实数解的问题、判别式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】2或1
【解析】解：∵正整数数列{an}满足an+2⋅an+1⋅an=10(n≥1)①，
又a3=5，则a1a2a3=5a1a2=10，
则a1a2=2，又a1，a2∈N∗，∴a1=1a2=2或a1=2a2=1，
由题意可得an+1⋅an+2⋅an+3=10②，
②÷①得an+3=an，
∴数列{an}是周期为3的周期数列，
∵623=3×207+2，∴a623=a2=1或2.
故答案为：2或1.
利用赋值法得出a1a2a3=5a1a2=10，结合题意求出a2的值，推导出数列{an}为周期数列，结合数列的周期性可求得a623的值．
本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，是中档题．
13.【答案】[1,+∞)
【解析】解：函数f(x)=(x2+1)12−ax，
求导得f′(x)=12(x2+1)−12⋅2x−a=x x2+1−a，
依题意，∀x∈[0,+∞),f′(x)≤0⇔a≥x x2+1,x∈[0,+∞),
而当x=0时，x x2+1=0，
当x>0时，x x2+1= 1−1x2+10，故x∈(−∞,1)，(3,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
而x∈(1,3)时，f′(x)