2025年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数学试卷及参考答案

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命题：沈阳市第三十一中学 闫 通
东北育才学校 庞德艳
沈阳市第五中学 裴延峰
主审：沈阳市教育研究院 周善富
本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的虚部是
A．B．C．D．
2．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，则
A．B．C．D．
4．为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为
A．B．C．D．
5．已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为
A． B． C． D．
6．在的展开式中，的系数是
A．B．C．D．
7．已知函数 QUOTE 是定义在上的偶函数，函数的图象关于点（2,0）中心对称，若，则=
A．B．C．D．
8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同. 据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线. 如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则下列说法正确的是
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的对称轴方程为（）
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
10．已知数列满足，则下列说法中正确的是
A．若，，则是等差数列
B．若，，则是等差数列
C．若，，则是等比数列
D．若，，则是等比数列
11．在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是
A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆
B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线
C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆
D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知公差不为0的等差数列的首项为1，且成等比数列，则_____.
13．已知向量满足，，且，则________.
14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众. 现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
16．（15分）
已知函数.
（1）若存在使成立，求的取值范围；
（2）已知，若在上恒成立，求的最小值.
17．（15分）
斜三棱柱各棱长均为4，，为棱上的一点.
（1）求证：；
（2）若平面平面，且二面角的余弦值为，求的长.
18．（17分）
某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台APP的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在APP上推出了和两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券. 右图是该商品日销售量（单位：千件）与日访问量（单位：万人次）的散点图：
（第18题图）
（1）求出关于的回归方程 QUOTE y=bx+a ，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品；
（2）款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有次挑战机会，第次无论成功与否都结束游戏. 设为游戏结束时进行挑战的次数，的数学期望为，证明：；
（3）款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的值.
参考数据：，.
参考公式：回归方程 QUOTE y=bx+a 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： QUOTE b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2 ，.
19．（17分）
已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线.
（1）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？
（2）设曲线为曲线，点是上位于第一象限的一点，点关于原点中心对称，点关于轴对称. 延长至，使得，且直线和曲线的另一个交点位于第二象限内.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）设直线斜率为，直线斜率为，判断与的关系，并求的取值范围.