河南省信阳市2024-2025学年高三上学期1月第二次教学质量检测数学试卷（Word版附解析）

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数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由对数函数的性质，求出对数不等式的解集，再求即可.
【详解】由对数函数的性质可得：
不等式成立，需要满足，
解得，即，且，
则，
故选：C.
2. 已知为虚数单位，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.
【详解】因为，所以，
.
故选：B.
3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由投影向量计算公式可得答案.
【详解】在向量上的投影向量为.
.
故选：A
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数同角关系结合诱导公式求得，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为切代入计算即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以.
故选：D
5. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）
A. 0.14B. 0.62C. 0.72D. 0.86
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布的性质进行计算即可.
【详解】随机变量服从正态分布，
且,
所以，
，
所以，
故选:D.
6. 函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】化简原函数解析式并求出平移后的函数解析式，由条件等式结合正弦函数性质求出的范围，由此可得结论.
【详解】函数图象向左平移个单位长度后，
得的图象，
由已知得，
所以，
所以，
所以，，
所以，，
因为，所以的最小值为3，
故选：C.
7. 已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数有最小值可得出函数的单调性，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】由于函数有最小值，则函数在区间上不为增函数，可得.
当时，，，此时函数无最小值；
当时，即当时，函数在区间上为减函数，
①若函数在上为增函数，则，
且有，即，解得，此时；
②若函数在上为减函数，则，
且，所以，，即，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用分段函数的最值求参数，解题时要根据题意分析出两支函数在各自定义域上的单调性，并分析出间断点处函数值的大小关系，本题易错的地方在于忽略函数在区间上单调递减，忽略这一条件的分析，进而导致求解出错.
8. 已知O为坐标原点，双曲线C:左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，
再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.
【详解】
设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.
根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，
所以MO是的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.
所以，，双曲线C渐近线方程为，
设，T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，即，
又T在上，则，即，解得，，
由，故，即距离之和为.
故选：A.
【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.
二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ）
A. 众数为12B. 平均数为14C. 中位数为14.5D. 第85百分位数为16
【答案】BC
【解析】
【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可.
【详解】成绩从小到大排列为：.
A：出现次数最多的数为，故A错误；
B：平均数，故B正确；
C：中位数为：，故C正确；
D：第85百分位数第，即第位，为，故D错误；
故选：BC.
10. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ）
A.
B. 若以线段AB为直径的圆过点F，则
C. 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则
D. 若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切
【答案】ABC
【解析】
【分析】联立直线l与抛物线消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判断A；利用韦达定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦长公式可得弦长可判断B；若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则解出，再用弦长公式可得弦长可判断C；由，可得无解可判断D.
【详解】设，直线的方程为，，的中点为，
由消去并整理得：，得，
由题意，，所以，即，
所以，则，故A正确；
以线段为直径的圆过点，所以，所以，
又，
所以，
，解得满足题意.
由，得，所以B正确；
若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则，
又，所以，
解得：，所以，故C正确；
若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，则，即，
又，所以无解，所以D错误.

故选：ABC.
11. 已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A.
B. 关于点对称
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】用特殊值法，假设，可判断选项A；对进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；对两边求导，可得，根据可判断的周期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；由特殊值关系得到，，化简，即可判断选项D.
【详解】假设，则，则，与都为偶函数，
则所设函数符合题意，此时，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
因为为偶函数，所以，
所以函数的图象关于直线对称，即，即，
因为，所以，所以，
则，故，
所以，所以，又，，
所以，所以无法确定的值，所以C错误；
又，，所以，
由，得，则，所以，
由知函数周期为4，则的周期也为4，则

，所以 D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：
对称性有关结论：
若，则关于直线对称；
若，则关于直线对称；
若，则关于点中心对称；
若，则关于点中心对称；
周期性结论：
若，则函数的周期为.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的系数为______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解.
【详解】因为的展开通项公式为，
的展开通项公式为，
所以取，得的系数为.
故答案为：.
13. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】设，则，
设切点为，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键.
14. 某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第________月.
【答案】7
【解析】
【分析】根据给定条件，将每月产量及合格率依次排列分别构成等比数列和等差数列，再求出不合格品数，并借助单调性求解最大问题.
【详解】设从今年1月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长，
该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示，
则，，，
则从今年1月份起，各月不合格产品数量为（万个），
，
当时，，即，此时数列单调递增，
当且时，，即，此时数列单调递减，
即，
则当时，最大，所以该工厂的月不合格产品个数达到最大是今年的7月份.
故答案为：7
【点睛】关键点点睛：求出各月的不合格品数构成数列的通项是求解问题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用向量数量积求得的值，再依据角A的范围即可求得角A的值；
（2）先利用正弦定理和三角函数诱导公式将转化为关于角B的三角函数式，再利用正弦函数的图像性质即可求得的取值范围.
【小问1详解】
∵，∴.
∵，∴，又∵，∴.
【小问2详解】
∵，
∴
.
∵，∴，∴，
∴，∴，
即的取值范围为.
16. 设是等差数列，是等比数列.已知，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和.
【答案】（1） （2）3266
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据等差数列、等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解；
（2）推出数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项，结合分组求和法计算即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，即，解得，
所以.
【小问2详解】
当数列的前50项中含有数列的前5项时，
令，得，则第26项为64，
当数列的前50项中含有数列的前6项时，
令，得，则第48项为128；
所以数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项，
故数列的前50项和为
.
17. 2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园.
（1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望；
（2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：
用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）0.4
【解析】
【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望；
（2）根据题意结合全概率公式运算求解.
【小问1详解】
由题意知：所有可能取值为，则有：
，，，
可知的分布列为：
所以的数学期望为：.
【小问2详解】
记事件A为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，
由题意可知：，，
由全概率公式可得，
所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4.
18. 已知函数.
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：（为自然对数的底数）.
【答案】（1）
（2）
（3）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）由求得，验证后确定的值.
（2）对进行分类讨论，根据在区间上的最小值不小于求得的取值范围.
（3）将要证明的不等式转化为证明，结合（2）的结论来证得不等式成立.
【小问1详解】
，定义域为，
，因为是的一个极值点，
所以.
此时，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意，
所以.
【小问2详解】
因为在上恒成立，所以.
当时，在上恒成立，
在上单调递增，所以成立，符合题意.
当时，令，得，
令，得，
所以上单调递减，在上单调递增，
当时，，这与矛盾.
综上所述，的取值范围是.
【小问3详解】
要证明，即证明，即证明，
由（2）得时，在上单调递增，
所以，
从而原不等式成立.
【点睛】求解函数在区间上的最值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间来求得最值.
19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：的值及的周长均为定值；
②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）答案见解析
（2）① 证明见解析；②存在；
【解析】
【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；
（2）设点，其中且.
（ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解.
【小问1详解】
设点，由题意可知，
即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
【小问2详解】
设点，其中且，
（ⅰ）由（1）可知的方程为，
因为，所以，
因此，三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由（1）可知，
所以
，
所以为定值1；
（法二）设，则有，解得，
同理由，解得，
所以，
所以定值1；
由椭圆定义，得，
，
解得，同理可得，
所以
．
因为，所以的周长为定值．
（ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，
得，
，（*）
因为，
所以
，
将（*）代入上式，化简得，
（法二）设，依条件有，解得，
同理由，解得，
所以．
由双曲线的定义，得，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，（常数）．
因此，存在常数使得恒成立，且．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
游园方式
游园结果
观光车
自行车
步行
参观完所有展园
80
80
40
未参观完所有展园
20
120
160
0
1
2