湖南省三湘名校联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省三湘名校联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了 已知集合，则， 下列命题中为真命题的是， 在复平面内，所对应的点位于， 在中，，记，则， 已知向量，则， 设复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，故.
故选：D.
2. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. 圆柱的侧面展开图是一个正方形
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱
D. 球体是旋转体的一种类型
【答案】D
【解析】对于A，圆柱的侧面展开图是一个矩形，不一定为正方形，故A错误；
对于B，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故B错误；
对于C，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故C错误；
对于D，球体是半圆绕着其直径所在直线旋转一周得到的封闭几何体，故D正确，
故选：D.
3. 设外接圆的半径为，若，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 不确定
【答案】B
【解析】设外接圆的半径为，若，由正弦定理，可得，所以，因为，可得，所以为直角三角形.故选：B.
4. 在复平面内，所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】由题意可得，其在复平面内所对应的点为，位于第二象限，故选：B.
5. 在中，，记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，其中，
所以.故选：C
6. 已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将代入方程可得，
即，故，解得，故.故选：B
7. 已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，可得，，则，
所以在向量上投影数量等于，可得向量在向量上的投影向量为.故选：A.
8. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，则四边形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由斜二测画法知，，
所以由余弦定理得，
，代入上式解得，，,，还原平面图如图，
即，，，
四边形的周长为．故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 已知向量，则（ ）
A. 是的充要条件
B. 是与的夹角为锐角的必要不充分条件
C. 是的充要条件
D. 是的充要条件
【答案】AC
【解析】对于A，由，故A正确；
对于B，由为锐角且不共线且，故B错误；
对于C，由或，故C正确；
对于D，时，可得：，
，此时，
仍满足，故D错误，
故选：AC.
10. 设复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】设，
由，则，所以，即，故A正确；
代入可得，，所以，故B错误；
由，故C正确；由，故D错误.
故选：AC.
11. 记的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，由正弦定理可知，
即，故A正确；
对于B，在边上取一点，使得，则，

，故，
在中，由正弦定理可得，
即，
故，故B错误；对于C，由射影定理可得，
故，
因为，所以，
由余弦定理可得，
故，即，故C正确；
对于D，由B知，，可得，
故，
即，故，即，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，则__________.
【答案】
【解析】在中，由余弦定理可得
，
故答案为：.
13. 已知函数，则的图象经过定点__________；的值域为__________.
【答案】 ；
【解析】因为恒成立，所以令得，
故的图象经过定点；
函数的定义域为R，所以函数的值域为，
因为在上单调递增，值域为，
所以函数的值域为.
故答案为；.
14. 菱形中，，点在线段上，且，则__________.
【答案】或
【解析】因为，所以，
所以，
因为点在线段上，
可设
，
而，所以，解得，
所以，则，
所以，故.故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知中，.
（1）求；
（2）证明：
（1）解：由辅助角公式可得，
即，则，
又，故.
（2）证明：设中角的对边分别为，
由余弦定理且，
可得，
当且仅当时取等，故.
由正弦定理可得，
又，故，即，得证.
16. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）证明：曲线关于直线对称；
（3）若，求的取值范围.
（1）解：由，解得或，
故的定义域为.
（2）证明：因为，
所以，
又，
所以，即曲线关于直线对称.
（3）解：对于函数，其在上单调递减，在上单调递增，
且在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
由（2）知，曲线关于直线对称，
要使，需满足，且，
解得.
17. 已知复数，（，且，），且.
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值.
（1）解:由已知，则，，所以，
又，则，
所以，化简可得，又，所以，即；
（2）证明：由（1）得，
所以，又，所以；
（3）解：设在复平面上对应的向量为，
在复平面上对应的向量为，
所以，
故，解得.
18. 已知将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称.
（1）求；
（2）求的相位及其最小正周期；
（3）当时，求使得不等式恒成立的对应的取值范围.
解：（1）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
由题意该函数为偶函数，所以，
解得，
又因为，解得.
（2）由（1）可得，
故的相位为，最小正周期为.
（3）令，因为，所以，
则原题等价于求使得不等式恒成立时，对应的取值范围，
注意到当或时，，
当时，单调递增，单调递减，又因为，
所以时，，不符合题意；
当时，，符合题意；时，单调递减，单调递增，所以时，，符合题意.综上，满足题意，此时.
19. 已知海面上两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在点时，与两点处灯塔的距离均为2海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达点，此时在点处灯塔测得.
（1）若两点的距离为海里，求的长度；
（2）求两点距离的取值范围.
解：（1）由题意知，，故为以为直角顶点的等腰直角三角形，故，又因为，且由题意得分布于直线两侧，所以，有，
由余弦定理可得，解得（海里）.
（2）由题意知点始终位于以为起点的射线上，记该射线为.
注意到在（1）的条件下，故此时，即，
所以此时的长度即为两点距离的最小值；
由于游船从两灯塔间穿过，即与存在异于端点的交点，
设为点.由正弦定理得，
在中，，
其中为定值，故增大时，减小，
又因为，
因为，所以，故，
因为，
所以，
故（海里）.