辽宁省朝阳市北票市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省朝阳市北票市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了答题前，考生须用0，设平均每次降价的百分率是x，等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分120分，答题时间120分钟)
注意事项:
1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；
2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；
3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷；
选择题（每题3分，共30分）
1．如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
2．关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0（k为实数）根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，在条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，选择一个条件，使得四边形ABCD是菱形，可选择的条件是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
4．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4
5．如图，工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，让游客饱览山间风光．这其中体现的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
6．在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ）
A．必然事件B．随机事件
C．不可能事件D．确定性事件
7．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若反比例函数的图象经过点（3，﹣6），则k的值为（ ）
A．﹣18B．18C．﹣2D．2
9．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②4ac＜b2；③9a+3b+c＜0；④（a+c）2＜b2；⑤a＜am2+（m﹣1）b，（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
填空题（每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2+x＝0的根是 ．
12．已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为30°，这条弧的长为 ．
13．小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球4000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.6附近波动，据此可以估计黑球的个数约是 ．
14．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是 ．
15．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分)计算：
（1）（x+1）（x﹣3）＝2x+5；
（2）0.8x2+x＝0.3．
17．（7分)小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的乙盒中．
（1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为 ；
（2）小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率．
18．（7分)如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）以点A为旋转中心，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△AB2C2，画出△AB2C2．
19．（7分)某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
20．（10分)如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且△ACP的面积是△BOC面积的1.5倍，求点P的坐标．
21．（10分)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
22．（12分)如图，直线y＝x+3与坐标轴交于B，C两点，抛物线y1＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC．
（1）求抛物线y1的解析式；
（2）如图1，点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，连接AE，AD，BD，求S△DEB+S△DEA的最大值；
（3）如图2，只将图1中的抛物线y1向右平移两个单位长度得到新抛物线y2，y2与x轴正半轴的交点为F，连接CF，点G是抛物线y2第二象限上的一点，连接GF．若∠GFC＝∠ACF，请求出点G的坐标．
23．（13分)△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段EF，连接BF，交DE
点M．
【特例感知】
（1）如图①，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
【类比迁移】
（2）如图②，当点E在线段BC延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【方法运用】
（3）当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．
九年级数学参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. x1＝0，x2＝﹣1． 12.π． 13. 2400． 14. （1，﹣2）． 15. 20米．
三、解答题（共8小题，共75分）
16解：（1）方程（x+1）（x﹣3）＝2x+5，
整理得：x2﹣4x﹣8＝0，
移项得：x2﹣4x＝8，
配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，
开方得：x﹣2＝±2，
即x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，
所以x1＝2+2，x2＝2﹣2；
（2）0.8x2+x＝0.3，
整理得：8x2+10x﹣3＝0，
这里a＝8，b＝10，c＝﹣3，
∵b2﹣4ac＝102﹣4×8×（﹣3）＝196＞0，
∴x，
解得：x1，x2．
17解：（1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为，
故答案为：；
（2）把“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”扑克牌分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
C
B
D
A
B
D
共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种，
∴抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率是．
18.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△AB2C2即为所求．
19.（1）设平均每次降价的百分率是x，
根据题意列方程得，200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）200（1﹣5%）（1﹣15%）＝161.5＜162
∴售货员的方案对顾客更优惠．
20解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，
∴A（﹣1，3），
把A（﹣1，3）代入反比例函数y，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）联立两个函数的表达式得，
，
解得
或，
∴点B的坐标为B（﹣3，1），
当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4，
∴点C（﹣4，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ACPS△BOC，
∴，
解得x1＝﹣6，x2＝﹣2，
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）．
21.（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴AM∥CD，
∴∠CDB＝∠APB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB．
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC＝90°，
∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠DAB，
∵∠BDA＝∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴，
∴PB，
∴DP6．
故答案为：．
22解：（1）直线y＝x+3与坐标轴交于B，C两点，则点B、C坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3），
由题意得：，
解得，
∴y1＝﹣x2﹣2x+3；
（2）连接DC，
∵DE∥AC，
∴S△DEC＝S△DEA（同底等高），
∴S△DEB+S△DEA＝S△DEB+S△DEC＝S△DBC，
过点D作DM⊥x轴于点M交BC 于点H，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则H（x，x+3），
则DH＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△DBC＝S△DHB+S△DHC

，
，抛物线开口向下，
当S△DBC最大值；
（3）当﹣x2﹣2x+3＝0时可得A（1，0），
当﹣x2+2x+3＝0时，则x＝﹣1或3，即F（3，0），
∴OC＝OA，
∴∠OFC＝∠OCF＝45°，
如图，设GF交OC于点N，当∠GFC＝∠ACF 时，
∴∠ACO＝∠NFO，∠COA＝∠FON＝90°，
∴△ACO≌△NFO（ASA），
∴ON＝OA＝1，
则点N（0，1），
由点N、F的坐标得，直线FG的解析式为：yx+1，
∴，
解得：，x2＝3（舍去），
∴．
23.（1）解：∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠BAC＝60°，∠BAEBAC，
∴∠BAE＝30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴DM＝EM；
（2）（1）中的结论成立，理由：
证明：如图1，
连接BD，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°，BD＝CE，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DBE+∠BEF＝60°+120°＝180°，
∴BD∥EF，
∵CE＝EF，
∴BD＝EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM＝EM；
（3）解：如图2，
当点E在BC的延长线上时，
作AG⊥BC于G，
∵∠ACB＝60°，
∴CG＝AC•cs60°AC＝3，
AG＝AC•sin60°AC＝3，
∴EG＝CG+CE＝3+2＝5，
∴AE2，
由（2）知：DM＝EM，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴AM＝AE•sin60°＝2，
如图3，
当点E在BC上时，
作AG⊥BC于G，
由上知：AG＝3，CG＝3，
∴EG＝CG﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AE2，
∴AM＝2，
综上所述：AM或．