江西省丰城中学2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份江西省丰城中学2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
解析：由数轴知，，且
，，
，
，
，
．
故选：D
2．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解析：解：方程组变形为，
∴由题意知，，
解得，
故选：C．
3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
解析：解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴当或时，，
故选：C．
4．已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
解析：解：当为底时，由题意得，
解得，
此时一元二次方程为，
解得，
∵，
∴不能构成三角形，
∴不合，舍去；
当为腰时，将代入方程得，
，
解得或，
当时，一元二次方程为，
解得，，
三边长为，可以构成三角形；
当时，一元二次方程为，
解得，，
∵，
∴不能构成三角形，
∴不合，舍去，
综上，，
故选：．
5．平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解析：解：设直线与x轴交于A，直线与x轴交于B，与y轴交于C，直线与y轴交于D，将绕直线点D逆时针旋转得到，如图：
在中，令得，
∴，
∵将直线向右平移3个单位得到，
∴，且直线，
∴直线解析式为，
在中，令得，
∴，
∵将作关于x轴的对称图形，
∴，
∵将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，
∴，，
∴E到x轴距离为，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
故选：A．
6．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的为（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】C
解析：解：∵，
∴，
∴当a＞-1时，方程有两个不相等的实根，故①正确；
当a＞0时，两根之积，故方程的两根异号，故②说法错误；
由一元二次方程的求根公式得，
∵a＞-1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确；
由③知，当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
∴正确的结论有：①③④
故选：C
7．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
解析：解：，
，
∴，
∴，
∵分式方程的解为整数，
∴为整数，且，
∴，
∵，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式的解集为
又∵该不等式组有解且至多有2个整数解，
∴，
∴，
综上所述，符合条件的整数的值为，
共计4个．
故选：C．
二、填空题
8．如图，直线与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
解析：解：∵直线与x轴交于点，
∴由图象可得，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
9．已知，则的值是 ．
【答案】9
解析：解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
10．若实数x满足，则的值是 ．
【答案】5
解析：解：方程整理得：，
设，
则原方程变形为：，
，
，，
当时，，
，
，
则，
故答案为：5
11．如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ．
【答案】12
解析：解：由图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，运动到点B时最大，所以 ，
而点P从B到C运动过程中，先变小后变大，当时，最小，此时为边上的高，长度为4，然后继续向点C运动，到C点时最大，所以．
如图，当时，
∵，，，
∴ ．
∵，，
，
，
故答案为：12．
12．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是 ．
【答案】11
解析：解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
同理可得：，，
点在反比例函数上，
，
点在反比例函数上，
，
平行四边形的面积为：，
故答案为：11．
13．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．

【答案】或或
解析：解：当时，，
∴点A的坐标为，
当时，，解得：，
∴点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，
以和为腰，为底，则，
∴，
∴P的坐标为；
以和为腰，为底，
设，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
∴，
∴P的坐标为，
以和为腰，为底，点O是的中点，
∴，
∴P的坐标为，

综上所述，P的坐标为或或．
三、解答题
14．（1）计算．
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
解析：解：（1）
；
（2）
移项得，
提公因式得，
．
15．已知，，求的值．
【答案】970
解析：解：∵，，
∴原式
．
16．解下列不等式（组）
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)．
解析：（1）解：，
，
；
（2）解：，
解①得，
解②得，
∴．
17．解分式方程：．
【答案】无解
解析：解：，
去分母得，，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
18．先化简，再求值：，在中选一个整数求值．
【答案】，
解析：解：
，
，
，
，且为整数，
取值为，
当时，原式．
19．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若方程的根为整数，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)当，，，，1，2，4时，方程的根为整数
解析：（1）证明：当时，原方程为一次方程，，
解得：，
当时，
当时，方程有实数根，
综上所述：无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：当时，原方程为一次方程，，
解得：，
为整数，
符合题意，
当，
，
，
解得：，，
方程的根为整数，
，
综上所述，当，，，，1，2，4时，方程的根为整数．
20．如图．已知正方形，请仅用无刻度直尺作一个平行四边形．

(1)如图1，若点是边上任意一点，请作．
(2)如图2，点是正方形的对角线上不与中点重合的一点，请以、为边作一个菱形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
解析：（1）解：画出图如图所示：

连接相交于点，连接并延长交于，连接，四边形即为所作；
（2）解：画出图如图所示：

连接与交于点，延长交于，连接，并延长交于，连接交于，连接，四边形即为所作．
21．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：
(1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．
(2)慢车出发多少小时候，两车相距200km．
【答案】（1）100，（8,480）；（2）1.75h和4.875h．
解析：解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km
在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶
则慢车速度为=60km/h
设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/h
∴B点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8,348）
∴慢车行驶时间为h，
∴C点的横坐标为8
∴C点的坐标为（8,480）；
（2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h；
在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km
共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h
∴两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h．
答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h．
22．如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．

(1)求A､B两点的坐标；
(2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
(3)当t为何值时，并求此时M点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
（1）由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标；
（2）由面积公式求出S与t之间的函数关系式；
（3）由得，则t时间内移动了，可算出t值，并得到M点坐标．
解析：（1）解：令得，
；
令得，
．
（2）解：∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，
，
，
即的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式为：．

（3）解：因为，
．
若，则，
，
解得或．
当；
当．
当或时，
此时M点的坐标．
23．已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1．
(1)求点的坐标；
(2)若轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，请直接写出点C的坐标；
(3)在坐标轴上是否存在一点M，使的面积的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)y轴上不存在，x轴上，．
解析：（1）解：∵点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，
∴，解得：，
∴，，
∴
（2）解：由（1）可知：，
∵轴，点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，
∴C的横坐标为1，纵坐标为2，
∴
（3）解：假设存在点M，使得，
∵，，
∴，
∴，
当点M在y轴上时，设，则，
∴点M不能在y轴上，
设，到AC的距离为h，如图：
则，，
当M位于AC左侧时，，得；
当M位于AC右侧时，，得；
综上所述：，．
24．如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E．
(1)求k的值及直线的解析式；
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
解析：（1）解：∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过点D，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，
∴，
由轴对称的性质可知，
∴的周长，
∵是定值，
∴当最小时，的周长最小，即此时三点共线，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴．
25．1.如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：
（1）用含有t的代数式表示AE=______．
（2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形．
（3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值．
【答案】（1）5﹣t；（2）当t=时，□AQPD是菱形；（3）当t=时，S有最大值，最大值为15cm2．
解析：（1）如图1，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理得：AB=10cm，
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴BP=2tcm，
∴AP=AB﹣BP=10﹣2t，
∵四边形AQPD为平行四边形，
∴AE=AP=5﹣t，
故答案是：5﹣t；
（2）如图2中，
当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，
则cs∠BAC=，即，
解得：t=，
∴当t=时，□AQPD是菱形；
（3）如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M，
∵PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴，即，
∴PM=(5﹣t），
∴S=AQ•PM=2t•（5﹣t）=﹣t2+12t=（0＜t≤4），
∵﹣＜0，
∴当t=时，S有最大值，最大值为15cm2．
26．【模型建立】
如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：．
【模型应用】
（1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题：
①点C的坐标是________，点A的坐标是________；
②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________；
（2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式．
【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2）
解析：模型建立：解：①∵，，
∴
∵，
∴，
又∵，
∴；
（1）解：①∵，，，
∴，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴点A的坐标为；
②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S，
∴
∴，
∴点M的坐标为；
如图所示，当点M在原点左侧时，连接，，
∴
，
∴，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或；
（2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴
∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当时，
∴
∴
当时，
解得
∴
∴，
∵将直线绕点B旋转至直线，
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴
∴设直线表达式为
∴
解得
∴设直线表达式为．
27．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
(3)当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的坐标为或
解析：（1）解：∵直线的表达式为，
当时，得：，
∴，，
当时，得：，解得：，
∴，，
∵抛物线交轴于，两点，交轴于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）过点作轴于点，
设，
∴，，，
∴，
∵抛物线交轴于，两点，
当时，得：，
解得：，，
∴，，
∵
，
又∵，即抛物线的图像开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）存在，理由：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
∴，
∴，
如图所示，连接，
①，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴当点的坐标为时，；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
此时点在轴上，不符合题意，舍去．
综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．