湖北省武汉市2024届高三数学下学期模拟考试最后一卷试卷含解析

这是一份湖北省武汉市2024届高三数学下学期模拟考试最后一卷试卷含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则（ ）
A.B.1C.D.2
2.设集合，，则的子集个数为（ ）
A.2B.4C.8D.16
3.蒙古包（Mnglianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A.平方米B.平方米
C.平方米D.平方米
4.五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从，，，四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A.64B.48C.36D.24
5.设点，在曲线上两点，且中点，则（ ）
A.1B.2C.D.
6.已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A.B.C.D.
7.设双曲线：的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，
，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（ ）
A.3B.4C.5D.6
8.设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为
（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）
A.若，，则；
B.若，，则；
C.若，，，则；
D.若，，，则.
10.盒子中有编号一次为1，2，3，4，5，6的6个小球（大小相同），从中不放回地抽取4个小球并记下编号，根据以下统计数据，可以判断一定抽出编号为6的小球的是（ ）
A.极差为5B.上四分位数为5C.平均数为3.5D.方差为4.25
11.已知函数，，则（ ）
A.有且只有一个极值点
B.在上单调递增
C.不存在实数，使得
D.有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分
12.若平面向量，，两两夹角相等且，，，写出的一个可能值为_______.
13.在等比数列中，，，则_______.
14.某校数学建模社团对校外一座山的高度（单位：）进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距米两处分别观测山顶的仰角和，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型_______（是用和表示的一个代数式）；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量______次.参考数据：若，则。
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
16.（15分）设函数，.
（1）求的极值；
（2）若对任意，有恒成立，求的最大值.
17.（15分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
18.（17分）四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本.已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差.
（1）求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数）
（2）为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行.比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束.当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为.假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为，求的分布列及的值.
参考数据：，，，，.
19.（17分）如图，已知椭圆：经过点，离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上任意点，轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围；
（3）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线：相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.
武汉二中2023-2024学年度下学期高三模拟考试
数学试题参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【解析】由已知条件，1结合复数的除法运算法则可得，从而可求出共轭复数，进而可选出正确答案.
2.【答案】C
【解析】根据对数的运算性质化简集合、，即可求出，再判断其子集个数.
3.【答案】A
【解析】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，
设底面圆的半径为，则，，则圆锥的母线长为（米），
故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米），故选：A
4.【答案】B
【解析】因甲不选A景点，应该分步完成：第一步，先考虑甲在，，三个景点中任选一个，有3种选法；第二步，再考虑乙和丙，从，，，中分别任选一个景点，有中选法.
由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种.故选：B.
5.【答案】D
【解析】设，
则有即
解得或，因此，，故故选：D.
6.【答案】D
【解析】依题意令，则，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
又，即，即，故C错误；
因为，即，即，故D正确；故选：D.
7.【答案】C
【解析】取为的中点，为右焦点，，
，，在上的投影为，，
，，，
，，，故选：C.
8.【答案】B
【解析】
即或
即或
当时，零点从小到大依次为
因此有，即.故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BC
【解析】①没说明直线垂直于两平面的交线，所以不能判断，故①错误；
②根据面面平行的性质定理，若，，则，故②正确；
③垂直于同一条直线的两个平面平行，所以若，，则，
若，则，故③正确；
④若，，则，平行或相交，若，则或相交或，故④错误.故选：BC
10.【答案】ABD
【解析】假设抽出四张卡牌从小到大排列为，，，
A.，得，，故A正确
B.，得，，故B正确
C.，存在，，，使得不抽出卡牌6，故错误
D.若未抽出卡牌6，则方差最大为，，，时，此时，，故D正确
11.【答案】ABD
【解析】由得，令，则函数可以看作为函数与函数的复合函数，因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，，由得，列表如下：
由表知，在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值（最小值），
所以，在上单调递增，在上单调递增，即B正确；
在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分.
12.【答案】9或（写出任意一个都得5分）
13.【答案】31
【解析】设，
则
，故
14.【答案】（也可以写成）72
【解析】（1）在中，，
在中，.（结果还可以是）
（2）由于，因此，
所以，故至少要测量72次.
故答案为：（也可以写成）；72
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）（2）
【解析】（1）令，得
因为，所以，
两式相减得，
即.所以，
所以，即，
所以，
又，符合上式，所以.
（2）由（1），
所以.
16.【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.
【解析】（1），.
令，得，令，得.
故在单调递减，在单调递增.
在处取得极小值，无极大值.
（2）对恒成立，即对恒成立.
令，，则只需即可.
，
易知，，均在上单调递增，
故在上单调递增且.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
.故，
，故的最大值为.
17.【答案】（1）证明见解析；（1）.
【解析】（1）在三棱柱中，，，则，
由，，得，
在中，，，，
由余弦定理，
得，，
于是，由平面，平面，
得，
而，，平面，因此平面，
又平面，
所以，
（2）由（1）知，，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由，，得，
则，，，
于是，，
设为平面的一个法向量，
则，取，
得，
显然为平面的一个法向量，
因此，显然二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
18.【答案】（1），（2）
【解析】（1）根据题意，得，
因为
，
同理，
所以
所以总样本的平均数为，方差.
（2）依题意可知，的所有可能取值为0，1，2，
设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，，则，
所以，
，
，
则的分布列为：
.
19.【答案】（1）（2）（3）证明见解析
【解析】（1）由题意，点在椭圆上得，可得①
又由，所以②
由①②联立且，可得，，，
故椭圆的标准方程为.
（2）设，，
令，对称轴为，
因为，
当，即，，故符合题意；
当，即，，
所以，解得，不符合题意；
当，即，，
解得；
所以实数的取值范围为：.
（3）由（1）知，椭圆的方程为，可得椭圆右焦点坐标，
显然直线斜率存在，设的斜率为，
则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
易知，设，，则有，，
由直线的方程为，令，可得，
即，
从而，，，
又因为，，共线，则有，即有，
所以，
将，，代入得，
又由，所以，即，，成等差数列.
0
0
1
2
P