北京市北京汇文中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

这是一份北京市北京汇文中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1、在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2、在实数、0、、1中，最小的实数是（ ）
A.
B. 0
C.
D. 1
3、64的立方根是（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
4、不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、将直尺和直角三角板按如图方式摆放（∠ACB为直角），已知∠1=30°，则∠2的大小是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 65°
6、小华拿24元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面3元，一根火腿肠2元，他买了4盒方便面，根火腿肠，则关于的不等式表示正确的是（ ）
A. 3×4+2x＜24
B. 3×4+2x≤24
C. 3x+2×4≤24
D. 3x+2×4≥24
7、已知的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为（ ）
A.
B.或
C.
D.或
8、下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 如果，，那么
9、若关于的不等式组的整数解共4个，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（ ）
A.
B. 3
C. 6
D. 3
二、填空题
11、的算术平方根是 ．
12、写出一个比2大且比3小的无理数： ．
13、若点（2，m-1）在第四象限，则实数m的取值范围是 ．
14、命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，如果 ，那么 ．
15、在平面直角坐标系中，点到轴的距离为，则 ．
16、如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为 .
17、不等式的解集是，则的取值范围是 ．
18、已知直线，垂足为，在内部，，于点，则的度数是 ．
19、在平面直角坐标系 xOy 中，对于平面内任意一点(x， y)，规定以下两种变化：
f (x， y) = (−x， y) ．如 f (1， 2) = (−1， 2) ；g ( x， y) = (x， 2 − y)．
根据以上规定：
(1) g (1， 2) =（ ）；
(2) f (g (2， −1)) =（ ）
20、破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是 ．
三、解答题
21、计算：．
22、解下列不等式组，并在数轴上表示解集：．
23、已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根为2，求的值．
24、完成下面的证明：
已知：如图平分，平分.求证：.
证明：,
,（ ）
平分，平分，
， ，
，
（ ）.
25、已知：，，点C在x轴上，．
(1) 直接写出点C的坐标；
(2) 若，求点B的坐标．
26、如图，将线段放在单位长为1的小正方形网格内，点，均落在格点上．
(1) 按下列要求画图：①请借助刻度尺在线段上画出点，使得；②将线段向右平移2个单位长，再向下平移1个单位长，得到线段（点平移至点），请在网格中画出线段；③作射线，，两射线交于点．
(2) 请观察或测量按（1）中要求所画的图形，其中相等的线段有：
（除外）.
27、如图，BD平分∠ABC．∠ABD=∠ADB．
(1) 求证：AD∥BC；
(2) 若BD⊥CD，∠BAD=α，求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）．
28、在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
(1) 已知点A的坐标为（﹣3，1），
①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 ；
②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；
A．（3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（﹣3，3） D．不能确定
(2) 若（﹣1，﹣k﹣3），（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k值．
29、如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，-6，（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）
(1) 如图1，若CF 平分，则 ；
(2) 如图2，将沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点逆时针旋转30t度，作平分，此时记.
①当t=1时， ；
②猜想和的数量关系，并证明；
(3) 如图3，开始与重合，将沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点逆时针旋转30t度，作平分，此时记，与此同时，将沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点顺时针旋转30t度，作平分，记，若与满足，请直接写出t的值为 ．
1 、【答案】 D;
【解析】 根据各象限内点的坐标特征进行判断即可得.
因
则点位于第四象限
故选：D.
2 、【答案】 C;
【解析】 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解：∵＜−1＜0＜1，
∴在实数−、0、、1中，最小的实数是．
故选：C．
3 、【答案】 A;
【解析】 解：∵43=64，∴64的立方根是4，
故选A
考点：立方根．
4 、【答案】 D;
【解析】 根据不等式组的解集在数轴上的表示方法进行分析解答即可.
A选项中，数轴上表达的解集是：；
B选项中，数轴上表达的解集是：；
C选项中，数轴上表达解集是：；
D选项中，数轴上表达的解集是：；
∵不等式组的解集是，
∴选D.
5 、【答案】 C;
【解析】 试题分析：先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．∵∠1+∠3=90°，
∠1=30°，∴∠3=60°． ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2=∠3=60°．
考点：平行线的性质
6 、【答案】 B;
【解析】 此题中的不等关系：方便面与火腿肠的总价不能超过24元，也就是应或等于24元．
解：根据题意，
得．
故选：B．
7 、【答案】 D;
【解析】 根据平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，即可得解．
∵AB//x轴，点A的坐标为(1,2)，
∴点B的横坐标为2，
∵AB=5，
∴点B在点A的左边时，横坐标为1−5=−4，
点B在点A的右边时，横坐标为1+5=6，
∴点B的坐标为(−4,2)或(6,2)．
故选D.
8 、【答案】 C;
【解析】 依题意，对于A选项，结合对顶角的定理即可；对于B选项，结合相关定理；对于C选项，平行线定理即可；对D选项，不等式的传递即可；
A、对顶角相等，本选项为定理，所以为真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
C、依据平行线定理，只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法不正确，是假命题，符合题意；
D、如果，，那么，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
故选：C．
9 、【答案】 B;
【解析】 解不等式组中的每个不等式，根据不等式组的整数解有4个可得m的取值范围．
解：解不等式x−m＜0，得：x＜m，
解不等式9−2x≤1，得：x≥4，
∵不等式组的整数解有4个，
∴不等式组的整数解为4、5、6、7这4个，
则7＜m≤8，
故选：B．
10 、【答案】 A;
【解析】 根据新定义先计算▲2，进而计算▼=，即可求解．
依题意，a▲b=，a▼b=
▲2，
，
▼=
（▲2）▼=▼3=
故选A
11 、【答案】
;
【解析】 利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
解：根据题意得：的算术平方根为．
故答案为：．
12 、【答案】
或只要即可
;
【解析】 根据算术平方根的定义有，这样就可得到满足条件的无理数．
解：∵，
∵一个比2大且比3小的无理数，
∴只要满足即可；
∴如；
故答案为：
13 、【答案】.
;
【解析】 根据第四象限点的坐标的符号特征列出不等式进行解答即可.
∵点在第四象限，
∴，解得：.
故答案为.
14 、【答案】 两个角是对顶角;这两个角相等;
【解析】 命题中的条件是两个角是等角的补角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，放在“那么”的后面，即可得到答案．
本题考查了将原命题写成“如果…那么…”即题设(条件)与结论的形式，解决问题的关键是找出相应的题设和结论．
解：解：题设为：两个角是对顶角，结论为：它们相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
15 、【答案】
;
【解析】 本题考查了点的坐标，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
解：∵点到轴的距离为，
∴，
∴，
故答案为：．
16 、【答案】 （-2，-2）;
【解析】 先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．
解：“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案是：（﹣2，﹣2）．
17 、【答案】 m＞1
;
【解析】 根据不等式的基本性质求解即可．
解：∵不等式（m−1）x＞m−1的解集是x＞1，
∴m−1＞0，
则m＞1，
故答案为：m＞1．
18 、【答案】 125°或55°;
【解析】 根据题意画出图形，分两种情况：当点F在射线OM上，当点F′在射线ON上，然后分别进行计算即可解答．
解：如图：
分两种情况：
当点F在射线OM上，
∵AB⊥CD，OF⊥OE，
∴∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOC＋∠COF＝∠EOF＋∠COF，
∴∠AOF＝∠COE，
∵∠COE＝125°，
∴∠AOF＝125°，
当点F′在射线ON上，
∵∠AOF＝125°，
∴∠AOF′＝180°−∠AOF＝55°，
综上所述，∠AOF的度数为125°或55°，
故答案为：125°或55°．
19 、【答案】 (1) （1，0）;
(2) （﹣2，3）;
【解析】 (1) 根据所给规定进行进行计算即可；
根据所给规定进行进行计算即可．
解：（1）∵g（x，y）＝（x，2﹣y）
∴g（1，2）＝（1，2﹣2）＝（1，0）
故答案为：（1，0）
(2) ∵g（2，﹣1）＝（2，3）且f（x，y）＝（﹣x，y）
∴f（g（2，﹣1））＝f（2，3）＝（﹣2，3）
故答案为：（﹣2，3）
20 、【答案】 798;
【解析】 先判断出密码中必有数字7且百位上，再判断出密码中必有式子8且在个位上，最后判断出密码中必有9，即可得出结论．
解：∵密码532，三个号码都不正确，
∴密码中没有数字：2，3，5，
∵密码257只有一个号码正确但位置不正确，
∴密码中必有数字7，并且不能在个位，
∵密码876只有两个号码正确，但位置都不正确，
∴密码7不能再十位，密码中8，6只有一个正确，
∴密码中的7只能在百位，
∵密码628中只有一个号码正确且位置正确，
∴密码中必有数字8，且在个位，
∵密码619中只有一个号码正确当位置不正确，
∴密码中只有数字9，且在十位，
∴正确的密码为798，
故答案为798．
21 、【答案】
;
【解析】 原式利用算术平方根、立方根定义计算即可求出值．
解：原式＝5−3−
22 、【答案】；将解集表示在数轴上如下：
;
【解析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，并在数轴上表述出不等式的解集．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
23 、【答案】 25
;
【解析】 利用一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，求得a，利用立方根的定义求得b，将a，b代入求值即可．
解：∵正数的两个平方根分别是−1和a−4，
∴−1＋a−4＝0，
∴a＝5，
∵b−12的立方根为2，
∴b−12＝23＝8，
∴b＝20，
∴a＋b＝5＋20＝25．
24 、【答案】,两直线平行，同位角相等，,，,同位角相等，两直线平行.
;
【解析】 根据平行线的性质与判定定理，进行解答即可.
,两直线平行，同位角相等
,
,
，同位角相等，两直线平行.
25 、【答案】 (1) 点C的坐标是（-1，0）或（9，0）；
;
(2)或.
;
【解析】 (1) 由已知A（4，0），点C在x轴上，AC=5，横坐标加减5即可； （2）根据三角形的面积公式，问题可解．
解：(1) ∵，，点C在x轴上，
∴点C的坐标是（4-5，0）或（4+5，0）
即（-1,0）或（9,0）
故答案为或
(2)，
故，，
点B的坐标为或．
26 、【答案】 (1) 如图所示：
;
(2) AC=CQ，BD=DQ
;
【解析】 (1) 根据题目要求画出图形即可；
(2) 观察或测量可以得出图中相等的线段为：AC=CQ，BD=DQ ．
27 、【答案】 (1) 证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC，
∴AD∥BC．
;
(2).
;
【解析】 (1) 想办法证明∠ADB=∠DBC即可推出AD∥BC；
利用平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC，
∴AD∥BC．
(2) 解：∵AD∥BC，且∠BAD=α，
∴∠ABC=180°-α，
，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
=.
28 、【答案】 (1) ①E，F；②C
;
(2) 1或2
;
【解析】 (1) 解：①∵点A(-3,1)到x、y轴的距离中最大值为3，
又∵点E(0,3)和点F(3,-3)到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”点是E、F；
②∵点B的坐标为(m,m+6)，且有m＜m+6，
又∵点A与点B为“等距点”，点A(-3,1)到x、y轴的距离中最大值为3，
∴m+6=3，
解得m=-3，
即B点的坐标为(-3,3)，
故选：C．
故答案为：①E、F；②C；
(2) 解：，两点为“等距点”，
①若|4k-3|≤4时，则4＝-k-3或-4＝-k-3，
解得k＝-7（舍去）或k＝1；
②若|4k-3|＞4时，则|4k-3|＝|-k-3|，
解得k＝2或k＝0（舍去）．
根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．
即k的值是1或2．
29 、【答案】 (1) 45°；
;
(2) ①30°；②；
;
(3)．
;
【解析】 (1) 试题分析：（1）利用角平分线求角度.(2)令t=1,求得，.再猜测和的数量关系是2倍关系，利用角平分线求角的关系.(3)利用（2）的方法求关系.
试题解析：
解：．
(2) ①当t=1时，．.
②猜想：，
证明：，
，
∵平分，

∵点A，O，B共线，
，
.
(3)．