广东省江门市鹤山市鹤华中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份广东省江门市鹤山市鹤华中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）经过，B（3，0）两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）设x，y∈R，向量，且∥，则＝（ ）
A．B．C．3D．
3．（5分）方程+＝10的化简结果是（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
4．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，若，则（ ）
A．x＝1，，B．x＝1，，
C．，y＝1，D．，y＝1，
5．（5分）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）过P（1，1）的直线与圆x2+y2＝4相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为（ ）
A．y﹣1＝0B．x+y﹣2＝0C．x﹣y＝0D．x+3y﹣4＝0
7．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积等于（ ）
A．B．3C．6D．9
8．（5分）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.多选或错选不得分，漏选得2分.
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第三象限
B．直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2）
C．过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为
D．过点A（1，2）在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣3＝0
（多选）10．（5分）已知向量，，，则下列命题中，正确的是（ ）
A．向量与的夹角为
B．以，为邻边的平行四边形的面积是
C．若，则，之间的夹角为锐角
D．若，则，之间的夹角为锐角
（多选）11．（5分）已知圆C：x2+y2＝4，则（ ）
A．圆C与直线mx+y﹣m﹣1＝0必有两个交点
B．圆C上存在4个点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于1
C．圆C与圆x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝16
D．动点P在直线x+2y﹣4＝0上，过点P向圆C引两条切线，A、B为切点，直线AB经过定点（1，2）
（多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（ ）
A．A1C⊥平面EFG
B．C到平面EFG的距离为
C．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是
D．平面EGF与平面BCC1B1夹角余弦值为
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为 ．
14．（5分）直线l1：mx+2y﹣3＝0与直线l2：3x+（m﹣1）y+m﹣6＝0平行，则m＝ ．
15．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣8＝0，点P是圆C上一动点，则点P到直线5x+12y+8＝0的距离的最大值为 ．
16．（5分）平面n的法向量是，点A（﹣1，3，0）在平面α内，则点P（﹣2，1，4）到平面α的距离 ．
四、解答题：本题共6大题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分.
17．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求的值；
（2）若，且分别与，垂直，求的坐标．
18．（12分）已知△ABC的三个顶点是A（﹣2，1），B（0，﹣3）C（3，4）．
（1）求直线AB的方程以及△ABC的面积S；
（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求平面BPD与平面PCD夹角的余弦值．
20．（12分）已知椭圆C过点（0，），椭圆上的点到焦点的最小距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，已知，求直线l的一般式方程．
21．（12分）已知圆，圆C2的圆心在直线y＝x上，且经过A（0，﹣1），B（﹣1，﹣2）两点．
（1）求圆C2的方程．
（2）求经过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．
22．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，．以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD．
（1）求证：DF∥平面BCE；
（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线AF和平面BCP所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
2023-2024学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）经过，B（3，0）两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线AB的斜率，即可确定其倾斜角．
【解答】解：，B（3，0），
则，所以直线的倾斜角为．
故选：A．
2．（5分）设x，y∈R，向量，且∥，则＝（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】根据题意利用空间向量的平行或垂直关系可得x，y，进而结合模长公式运算求解．
【解答】解：因为，则，解得x＝2，即，
又因为∥，则，解得y＝﹣4，即，
可得，所以．
故选：A．
3．（5分）方程+＝10的化简结果是（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
【答案】C
【分析】方程+＝10表示（x，y）与（4，0），（﹣4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（﹣4，0）为焦点的椭圆，且a＝5，c＝4，可得结论．
【解答】解：方程+＝10表示（x，y）与（4，0），（﹣4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（﹣4，0）为焦点的椭圆，且a＝5，c＝4，
所以b＝3，
所以椭圆方程为+＝1，
故选：C．
4．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，若，则（ ）
A．x＝1，，B．x＝1，，
C．，y＝1，D．，y＝1，
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算法则，用基底{，，}表示出，即可得解．
【解答】解：由题意知，＝＝+（）＝++，
因为，
所以x＝1，y＝，z＝．
故选：B．
5．（5分）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解．
【解答】解：，
故，，共面，三者不能构成基底，故A错误；
，，不共面，能作为基底，故B正确；
＝，
则，，共面，三者不能构成基底，故C错误；
，
则，，共面，三者不能构成基底，故D错误．
故选：B．
6．（5分）过P（1，1）的直线与圆x2+y2＝4相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为（ ）
A．y﹣1＝0B．x+y﹣2＝0C．x﹣y＝0D．x+3y﹣4＝0
【答案】B
【分析】当所得弦的长度最短时，求解直线的斜率，用点斜式求得直线方程．
【解答】解：圆x2+y2＝4 的圆心A（0，0 ），所得弦的长度最短时，直线的斜率：＝﹣1，
故直线的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．
故选：B．
7．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积等于（ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，求出a、b的值，由椭圆的几何性质可得c的值，则有|F1F2|＝2c，由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|＝2a，结合余弦定理计算可得|MF1||MF2|的值，由余弦定理分析可得答案．
【解答】解：由椭圆+＝1可得：a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2﹣b2＝16．
即|F1F2|＝2c＝8，
若P在此椭圆上，且∠F1PF2＝60°，
则|PF1|+|PF2|＝2a＝10，
cs∠F1PF2＝＝＝，
解可得|PF1||PF2|＝12，
则△MF1F2的面积S＝|PF1||PF2|sin60°＝3，
故选：B．
8．（5分）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据相关点法，即可求解．
【解答】解：设点M的坐标为M（x，y），
∵P（1，0），线段PQ的中点为M，
∴Q（2x﹣1，2y），
又点Q在圆x2+y2＝4上，
∴（2x﹣1）2+（2y）2＝4，
即．
故选：A．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.多选或错选不得分，漏选得2分.
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第三象限
B．直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2）
C．过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为
D．过点A（1，2）在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣3＝0
【答案】BC
【分析】根据直线以及直线方程的相关知识可逐一判断．
【解答】解：对于A，若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则点（k，b）在第二象限，故A错误；
对于B，直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2），故B正确；
对于C，过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为，故C正确；
对于D，过点A（1，2）在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知向量，，，则下列命题中，正确的是（ ）
A．向量与的夹角为
B．以，为邻边的平行四边形的面积是
C．若，则，之间的夹角为锐角
D．若，则，之间的夹角为锐角
【答案】BD
【分析】根据题意，由数量积的计算公式依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，||＝＝，||＝＝，•＝﹣2+3+6＝7，
则cs＜，＞＝＝，故＜，＞＝，A错误；
对于B，由A的结论，＜，＞＝，
则以，为邻边的平行四边形的面积S＝2×（||||sin＜，＞）＝××sin＝7，B正确；
对于C，当x＝﹣3时，＝（2，1，﹣3）＝﹣（﹣2，﹣1，3），、反向，其夹角不是锐角，C错误；
对于D，若，则•＝﹣4﹣1+3x＝3x﹣5＞0，同时、方向不会相同，故其夹角为锐角，D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）已知圆C：x2+y2＝4，则（ ）
A．圆C与直线mx+y﹣m﹣1＝0必有两个交点
B．圆C上存在4个点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于1
C．圆C与圆x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝16
D．动点P在直线x+2y﹣4＝0上，过点P向圆C引两条切线，A、B为切点，直线AB经过定点（1，2）
【答案】ACD
【分析】对于A，找出直线mx+y﹣m﹣1＝0所过的定点，即可判断；对于B，计算圆x2+y2＝4的圆心到直线l的距离，再与半径比较，即可判断；对于C，由两圆有三条公切线，知两圆外切，再根据圆心距等于两圆的半径之和，即可得解；对于D，设点P（m，n），则m+2n﹣4＝0①，写出以OP为直径的圆的方程，并求出两圆的公共弦所在直线的方程mx+ny＝4②，联立①②，消去m，可得y＝2x，从而得解．
【解答】解：对于A，将直线mx+y﹣m﹣1＝0整理得（x﹣1）m+y﹣1＝0，
由，知x＝1，y＝1，
所以直线mx+y﹣m﹣1＝0过定点（1，1），而该定点在圆内，故选项A正确；
对于B，圆x2+y2＝4的圆心到直线的距离为，所以只有三个点满足题意，故选项B错误；
对于C，将圆x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0化成标准形式为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，
所以，解得m＝16，即选项C正确；
对于D，连接OP，OA，OB，设点P（m，n），则m+2n﹣4＝0，
因为A，B为切点，所以OA⊥PA，OB⊥PB，
所以A，B两点在以OP为直径的圆上，
而以OP为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣mx﹣ny＝0，
将该方程与x2+y2＝4相减可得，两圆公共弦AB所在直线方程为mx+ny＝4，
联立，消去m，得4（x﹣1）+n（y﹣2x）＝0，
令x＝1，则y＝2，即直线AB经过定点（1，2），故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（ ）
A．A1C⊥平面EFG
B．C到平面EFG的距离为
C．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是
D．平面EGF与平面BCC1B1夹角余弦值为
【答案】ABD
【分析】本题利用空间向量求出法向量，再利用法向量求出夹角，再求出距离和面积即可．
【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
因为正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2，
E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，
则 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
D（0，0，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），
C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，0，0），F（2，1，0），G（1，2，2），
因为，
，
所以A1C⊥EF，A1C⊥FG，EF，FG在平面EFG 上，EF∩FG＝F，
所以A1C⊥平面EFG，故A正确；
设平面EFG的法向量为，因为
所以
令x＝1，则y＝﹣1，故z＝1，
所以平面EFG的一个法向量为，
则点C到平面EFG的距离为，
所以点C到平面EFG的距离为，故B选项正确；
因为DC⊥平面BCC1B1，则 是平面BCC1B1的一个法向量，
因为平面EGF 的一个法向量为，
设平面EGF和平面BCC1B1 的夹角为θ，则θ为锐角，
所以，故D选项正确；
对于C选项，取BB1的中点H，C1D1的中点J，DD1的中点I，连接EI，IJ，JG，
GH，HF，如图所示，
因此EF∥JG，GH∥EI，IJ∥FH，
，
且正六边形EFHGJ是过点E，F，G作正方体的截面，
所以其面积为：
，故C选项错误．
故选ABD．
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为 ．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合离心率公式，即可求解．
【解答】解：椭圆的焦点在y轴上，
则a2＝1，b2＝m，c2＝1﹣m，
故，解得m＝．
故答案为：．
14．（5分）直线l1：mx+2y﹣3＝0与直线l2：3x+（m﹣1）y+m﹣6＝0平行，则m＝ ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果．
【解答】解：由l1：mx+2y﹣3＝0，得到，
因为l1∥l2，所以m﹣1≠0，由3x+（m﹣1）y+m﹣6＝0，得到
所以，即，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣8＝0，点P是圆C上一动点，则点P到直线5x+12y+8＝0的距离的最大值为 4 ．
【答案】4．
【分析】求出圆心C到直线l的距离，结合圆的几何性质可求得点P到直线l距离的最大值．
【解答】解：由题圆C：x2+y2﹣2x﹣8＝0，可得，圆心C（1，0），半径r＝3，
圆心C（1，0）到直线5x+12y+8＝0的距离等于＝1，所以点P到直线的距离的最大值为3+1＝4．
故答案为：4．
16．（5分）平面n的法向量是，点A（﹣1，3，0）在平面α内，则点P（﹣2，1，4）到平面α的距离 ．
【答案】．
【分析】利用点到平面的距离的向量公式求解．
【解答】解：，
则点P到平面α的距离．
故答案为：．
四、解答题：本题共6大题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分.
17．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求的值；
（2）若，且分别与，垂直，求的坐标．
【答案】（1）7；
（2）（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）．
【分析】（1）根据题意，求出2+的坐标，进而计算可得答案；
（2）根据题意，设＝（x，y，z），分析可得，解可得x、y、z的值，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
则＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），
则有2+＝（﹣4，﹣2，6）+（1，﹣3，2）＝（﹣3，﹣5，8）；
故|2+|＝＝7；
（2）根据题意，设＝（x，y，z），
而＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），，
则有，解可得或，
故＝（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）．
18．（12分）已知△ABC的三个顶点是A（﹣2，1），B（0，﹣3）C（3，4）．
（1）求直线AB的方程以及△ABC的面积S；
（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【答案】（1）2x+y+3＝0，13；
（2）2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0．
【分析】（1）先求出直线AB的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解；
（2）由题意可知，直线l与AB平行或通过AB的中点，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（0，﹣3），
，
故直线AB的方程为y＝﹣2x﹣3，即2x+y+3＝0，
，
点C到直线AB的距离为，
所以△ABC的面积S为；
（2）因为点A，B到直线l的距离相等，所以直线l与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l与AB平行，所以kl＝，所以l：2x+y﹣10＝0．
②当直线l通过AB的中点D（﹣1，﹣1），
所以，所以l：，即5x﹣4y+1＝0，
综上：直线l的方程为2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求平面BPD与平面PCD夹角的余弦值．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【分析】（1）利用面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，进而得到CD⊥AM，利用正三角形的性质可知AM⊥PD，再由线面垂直的判定得证；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面BPD与平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式得解．
【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AM⊂平面PAD，
所以CD⊥AM，
因为是正三角形，M是PD的中点，
所以AM⊥PD，
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD；
（2）取AD中点为O，BC中点为N，连接OP，ON，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝2，则A（0，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（2，﹣1，0），M（0，，），
所以，，
设平面PBD的法向量为＝（x，y，z），
则，可取 ，
由（1）知 是平面PCD的一个法向量，，
则，
由图象可知，平面BPD与平面PCD所成二面角的平面角为锐角，
则平面BPD与平面PCD所成二面角的余弦值为．
20．（12分）已知椭圆C过点（0，），椭圆上的点到焦点的最小距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，已知，求直线l的一般式方程．
【答案】（1）；
（2）x﹣y﹣1＝0或x﹣y+1＝0．
【分析】（1）根据题意，得到，且求得a、b的值，即可求解；
（2）设/的方程y＝x+m，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，求得m＝±1，即可求解．
【解答】解：（1）由椭圆C的离心率为，
即，可得，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，
解得，c＝1，，
所以椭圆的方程为；
（2）因为直线l的倾斜角为45°，可设l的方程y＝x+m，
由方程组，整理得5x2+6mx+3m2﹣6＝0，
可得Δ＝36m2﹣4×5（3m2﹣6）＝24（5﹣m2）＞0，解得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
又由，
解得m＝±1，满足△＞0，
所以直线l的一般式方程为x﹣y﹣1＝0或x﹣y+1＝0．
21．（12分）已知圆，圆C2的圆心在直线y＝x上，且经过A（0，﹣1），B（﹣1，﹣2）两点．
（1）求圆C2的方程．
（2）求经过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．
【答案】（1）x2+y2+2x+2y+1＝0．
（2）（x+1）2+（y+1）2＝1．
【分析】（1）设出圆的一般方程，求出圆的圆心，列出方程组求解即可．
（2）求出公共弦的方程，求解圆的圆心与半径，即可得到所求圆的方程．
【解答】解：（1）设圆C2的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，圆心坐标，
依题意有：∴，
∴圆C2的方程为：x2+y2+2x+2y+1＝0．
（2）由圆，圆C2的方程为：x2+y2+2x+2y+1＝0．
两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为：x﹣y＝0，
圆，圆心C1（﹣2，0），
圆，C2（﹣1，﹣1），
则以两圆连心线所在直线的方程为，即x+y+2＝0，
过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆，
由，
得所求圆的圆心为（﹣1，﹣1），
又圆心C1（﹣2，0）到公共弦所在直线x﹣y＝0的距离为，
∴所求圆的半径，
∴所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2＝1．
22．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，．以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD．
（1）求证：DF∥平面BCE；
（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线AF和平面BCP所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）存在，，理由见解析．
【分析】（1）证明出四边形CDFE为平行四边形，得到DF∥CE，从而得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，设出，利用线面角的正弦值列出方程，求出答案．
【解答】解：（1）证明：将直角梯形ABCD绕着AB旋转得到直角梯形ABEF，
故CD＝EF且CD∥EF，
故四边形CDFE为平行四边形，
所以DF∥CE，
又CE⊂平面BCE，DF⊄平面BCE，所以DF∥平面BCE；
（2）因为AF⊥AD，∠DAB＝90°，∠FAB＝90°，
所以AD，AB，AF两两垂直，
故以A为坐标原点，以AD，AB，AF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为，设AD＝1，
则A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），B（0，2，0），C（1，1，0），
设，则，设P（a，0，b），
则（a﹣1，0，b）＝m（﹣1，0，1），解得a＝1﹣m，b＝m，故P（1﹣m，0，m），
当m＝0时，此时P与D重合，直线AF和平面BCD垂直，
不满足所成角的正弦值为，舍去；
当m≠0时，设平面BCP的法向量为，
则，
令x＝1，则，故，
设直线AF和平面BCP所成角的正弦值为θ，
则sinθ＝|cs＜，＞|＝＝＝＝，
解得：或（舍去），
综上，在线段DF上存在点P，使得直线AF和平面BCP所成角的正弦值为，
此时．
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