四川省宜宾市第二中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份四川省宜宾市第二中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，总分150分）
一、选择题：共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. 在中分式的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此可得答案．
【详解】解：在中分式有，共2个，
故选：B．
2. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数，分式仍然成立．根据这个性质可得，
A不符合性质，是错误的，不符合题意；
当a=0时，B和C都是错误的，不符合题意；
而+1≥1，
∴D成立，符合题意．
故答案为D
3. 下列各图中，表示是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可．
【详解】解：如图所示，
在B、C、D三个选项中，在x允许的取值范围内，x任取一个数值，函数y都有2个值与之对应，不符合函数的概念．
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的概念，注意掌握函数的定义即设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
4. 在平面直角坐标系中，关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
5. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答．
【详解】解：，
故选：D．
6. 下列说法错误的是（ ）
A. 代数式不是分式
B. 分式的值不可能为0
C. 分式是最简分式
D. 分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，最简分式，分式的性质等知识，根据分式的定义，最简分式，分式的性质对各选项进行判断作答即可，熟练掌握分式的定义，最简分式，分式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、代数式不是分式，说法正确，故选项不符合题意；
B、分式的值不可能为0，说法正确，故选项不符合题意；
C、分式是最简分式，说法正确，故选项不符合题意；
D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到，分式的值改变，故选项符合题意；
故选：D．
7. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低15元，总费用降低了．设第二次采购单价为元，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为元，根据单价总价数量，结合总费用降低了，采购数量与第一次相同，即可得关于x的分式方程．
本题主要考查了分式方程的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，再次采购数量与第一次相同，是解决问题的关键．
【详解】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为元，
依题意得： ．
故选：B．
8. 下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程的步骤，计算出方程两边同时乘以的结果即可得到答案．
【详解】解：
方程两边同时乘以去分母得：，即，
故选：D．
9. 若点(2k－1，1－k)在第四象限，则k的取值范围是（ ）
A. k＞0.5B. k＜0.5C. k＞1D. 0.5＜k＜1
【答案】C
【解析】
【分析】根据第四象限内点的横坐标为正数、纵坐标都是负数列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
10. 若分式，则分式值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意得出，再代入分式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键．
11. 一个动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（ ）
①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了动点函数的图象，三角形的面积等知识点，先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算逐个判断即可，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．
【详解】解：当点H在上时，如图所示，

∴，
∴，
∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，

∴，此时三角形面积不变，
当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，

∴，点H从点C到点D运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，

∴，此时三角形面积不变，
当点H在时，如图所示，

∴，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得时，点H在上，
，
∴，，
∴动点H的速度是，
故①正确，符合题意；
当时，点H在上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时，
∴，
故②错误，不符合题意；
当，点H在上，，
∴动点H由点D运动到点E共用时，
∴，
故③错误，不符合题意；
当的面积是时，点H在上或上，
点H在上时，，
解得，
点H在上时，
，
解得，
∴，
∴从点C运动到点H共用时，
由点A到点C共用时，
∴此时共用时，
故④正确，符合题意；
综合上所述：正确的有2个，
故选：B．
12. 若关于x的分式方程﹣=3的解为正整数，且关于y的不等式组至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m的取值之和为（ ）
A. 1B. 0C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m的值，最后求和即可．
【详解】解：化简不等式组为，
解得：﹣2＜y≤，
∵不等式组至多有六个整数解，
∴≤4，
∴m≤3，
将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得
x+m﹣1=3（x﹣2），
解得：x=，
∵分式方程的解为正整数，
∴m+5是2的倍数，
∵m≤3，
∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3，
∵x≠2，
∴≠2，
∴m≠﹣1，
∴m=﹣3或m=1或m=3，
∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填写在横线上．
13. 在平面直角坐标系中，点在第______象限．
【答案】三
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点的横坐标小于0，纵坐标小于0，
点在第三象限．
故答案为：三．
14. 已知函数，则自变量的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式中被开方数为负数，分式的分母不能为0的知识是解题的关键．
根据题意得，即可求解．
【详解】解：函数，
∴，
解得，，
故答案为： ．
15. 已知函数是关于x的一次函数，则m的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的概念可得，，求解即可得出答案．
【详解】解：函数是关于x的一次函数，
，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的概念，根据题意得到关于的不等式和方程是解题的关键．
16. 已知关于x方程＝3的解是正数，则m的取值范围为____．
【答案】且
【解析】
【分析】先解分式方程得到方程的根为：再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案.
【详解】解：

解得：
关于x的方程＝3的解是正数，
且
解得：且
故答案为：且
【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除.
17. 定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为________．
【答案】2或4##4或2
【解析】
【分析】先根据新定义和已知条件求出a，b的值，再把关于x的方程化为分式方程，去分母转化为整式方程，根据方程无解求出k的值即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
，
，
，
整理得：，
整理得：，
关于x的方程无解，
当时，原方程无解，
即，
当，时是增根，原方程无解，
即或，
即，
综上实数k的值为2或4．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了解分式方程，理解新定义，求出a，b的值是解题的关键，同时理解分式方程无解的意义．
18. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且，直线与的平分线交于点，则点坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点A和点B的坐标，再求出的长，利用面积法求出边上的高，结合得出，过点D作的垂线，垂足为H，证，求出，设，则，列方程求出m值，进而求出点D坐标，即可解决问题．
【详解】解：将代入得，，
点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点线段上，且，
，
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得：，
即点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题：本题共78分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
19. 计算或解方程：
（1）；
（2）；
（3）
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）原方程无解
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的减法计算，解分式方程，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算方法是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先通分，再把分子合并同类项后约分即可得到答案；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
【小问4详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
20. 先化简，再求值：，其中为的整数．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值并代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∵为的整数，
∴，
∴原式．
21. 某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？
【答案】甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品，再根据每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等建立方程求解即可．
【详解】解：设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品．
22. 已知直线：分别与轴、轴交于两点．
（1）求点和点的坐标．
（2）将直线向上平移6个单位长度后得到直线，画出平移后的直线的图形．
（3）设直线与轴的交点为，求的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，画一次函数图象，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）求出自变量为0时的函数值，函数值为0时自变量的值即可得到答案；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出直线的解析式，再画出对应的函数图象即可；
（3）求出点M的坐标，再求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：在中，当时，，当时，，
∴；
【小问2详解】
解：∵将直线向上平移6个单位长度后得到直线，
∴直线解析式为，
函数图象如下所示：
【小问3详解】
解：在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）5500元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可；
（2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
【小问1详解】
解：由题知，
与的函数表达式为．
【小问2详解】
解：由题知
由（1）知
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，（元）．
24. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，
从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：，
，即，
．
根据材料回答问题：
（1）已知，求值；
（2）解分式方程组；
（3）已知、、为实数，，，，求分式的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，解分式方程组，正确理解题意是解题的关键．
（1）仿照题意求出的值即可得到答案；
（2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案；
（3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
令，则，
解得，
∴，
经检验，是原方程组的解；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于，，以为斜边作等腰．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点F从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，E、F两点同时运动．在运动过程中，以为斜边在x轴上方作等腰．设运动时间为t秒；
①点E的坐标______，点F的坐标______．（用含t的式子表示）
②当点E在点F左侧时，若点G落在直线上（如图3），求t的值；
③以为直角边，点G为直角顶点作等腰（点C、点G、点D逆时针排列）．当点D落在x轴上时，求t的值．
【答案】（1）
（2）①，；②；③
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①根据点的运动情况，写出点的坐标即可；
②求出，再由点G落在直线上得到方程t，解得；
③过点G作轴，过点C作交于N点，过点D作交于M点，证明，可得，再由D点落在x轴上，求t的值即可．
【小问1详解】
设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴直线AB的解析式为；
【小问2详解】
①E点的坐标为，F点的坐标为，
故答案为：，；
②当时，，此时E、F点重合，
∵点E在点F左侧，
∴，
作于点H，
∵，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴G点在的中垂线上，
∴G点横坐标为，
∴，
∴，
∵点G落在直线上，
∴t，
解得；
③过点G作轴，过点C作交于N点，过点D作交于M点，
∵是等腰直角三角形，，
∴C点坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵D点落在x轴上，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的图象及性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，确定动点的坐标是解题的关键．