山东省济南市稼轩学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市稼轩学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道，下列有关环保的四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1B．﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2
C．m（m+3）＝m2+3mD．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
3．把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
4．若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的倍B．扩大为原来的倍
C．缩小为原来的D．不变
5．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是等边外一点，把绕点顺时针旋转到，已知，，，则等边的边长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共3小题）
11．分解因式： ．
12．如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是 ．
13．已知关于的分式方程有增根，则 ．
三、解答题（本大题共1小题）
14．已知，求代数式的值.
四、填空题（本大题共1小题）
15．等腰Rt△AOB和等腰Rt△COB按如图所示方式放置，∠OAB＝∠OCB＝90°，A（1，1），将△AOB沿x轴平移，得到△DEF，连接CD，CE．当CD＋CE的值最小时，点D的坐标为 ．
五、解答题（本大题共9小题）
16．分解因式：
(1)；
(2)．
17．解不等式（组）：
(1)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来；
(2)解不等式组：，并写出所有的正整数解．
18．计算与化简求值：
(1)计算：；
(2)化简分式：，并求值
（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
(1)将先向右平移5个单位再向下平移5个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标______；
(2)将绕点按顺时针方向旋转得到，作出；
(3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标．
21．某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
（1） 求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
（2） 负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【关键点拨】理解题意并列出分式方程是解题的关键.
22．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：
(1)求代数式的最小值时，（______）______，因此当______时，的最小值是______．
(2)请比较多项式与的大小，并说明理由．
(3)如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
23．如图，在等边中，，点从点出发沿边向点点以的速度移动，点从点出发沿边向点以速度移动．、两点同时出发，它们移动的时间为秒钟．
(1)请用的代数式表示和的长度：______，______．
(2)当是直角三角形时，求出的值．
(3)若点在到达点后继续沿三角形的边长向点移动，同时点也在继续移动，请问在点从点到点的运动过程中，为何值时，直线把的周长分成两部分？
24．综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题，如图1，中，，，将从图1的位置开始绕点C顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为点，），旋转角为．
操作思考：
（1）如图2，“明辨”小组画出了恰好经过点B时的图形，求此时旋转角的度数；
（2）如图3，“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形，此时点也恰好在的延长线上．过点B作的平行线交于点P，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由：
拓展探究：
（3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将沿直线平移，点B，C，的对应点分别为D，E，F．若，当是以为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选B．
2．【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
【详解】解：A．x2+2x+1=（x+1）2，故A不符合题意；
B．-7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意；
C．m（m+3）=m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意；
D．2x2-5x=x（2x-5）是因式分解，故D符合题意；
故选D．
3．【答案】C
【分析】根据题意可得提取即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
4．【答案】C
【分析】a，b都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：由题意得：，
∴分式的值缩小为原来的，
故选C．
5．【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可；
【详解】解：．，当时，，所以选项不符合题意；
B．当，，，所以选项不符合题意；
C．，则，，所以选项符合题意；
D．，，则，所以选项不符合题意．
故选C．
6．【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可．
【详解】解：，
，
，
显然只有B选项符合题意．
故选B．
7．【答案】C
【分析】根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：当时，，得
由函数图象可知，关于x的不等式的解集为，
故选C．
8．【答案】A
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点D的坐标即可．
【详解】解：∵的对应点C的坐标为，
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1，
∵点的对应点为D，
∴D的坐标为．
故此题答案为A．
9．【答案】A
【分析】根据旋转的性质和角的和差可推出，，再利用平行线的性质得，最后根据内角和定理求，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，，
，
，即，
．
故选A．
10．【答案】B
【分析】连接，，取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，为等边三角形，得到，，然后利用勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，从而得到，最后利用勾股定理即可得到．
【详解】解：连接，，如图，
是等边三角形，
，，
绕点顺时针旋转到，
，，
为等边三角形，，即，
在和中，
，
，
，
；
为等边三角形，
，，
，
，
在中，，，，
，
；
取的中点，连接，
则，
，
为等边三角形，
，
，
，
在中，，，，
，
等边的边长为．
故选B．
11．【答案】
【分析】根据提取公因式法和平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
12．【答案】
【详解】解：过点作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴
13．【答案】
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，然后根据分式方程有增根求出x的值，再把x的值代入整式方程计算即可求出k的值．
【详解】解：去分母得，，
∵分式方程有增根，
∴，则，
把代入得
，
解得：
14．【答案】3
【分析】先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
15．【答案】
【分析】证明，则当最小时，即最小，作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D，求出CG直线方程为：，当时，，即可求出．
【详解】解：∵Rt△AOB和Rt△COB是等腰三角形，且，∠OAB＝∠OCB＝90°，
∴是正方形，，
根据平移的性质可知：，，
∴，，
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴，
若最小，即最小，
作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D，
∵,
∴，，，
设CG直线方程为：
将，代入方程得：，解得：，
∴
当时，
∴．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式法进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式法进行因式分解即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
．
17．【答案】(1)
(2)；1，2，3．
【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，系数化为1，得到解集，然后根据“”，“”向右画；“”，“”向左画，“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，把解集表示在数轴上即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得其整数解．
【详解】（1）解：，
将解集在数轴上表示出来：
（2）解：
解①得，，
解②得，，
，
为正整数，
或2或3．
18．【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据分式的除法运算法则计算可得；
（2）先根据分式的加减法运算法则化简原式，从对话中确定和，代入求值即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
是3的相反数，是大于1小于的整数
，
原式
19．【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边同乘去分母，得，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再代入检验即可；
（2）方程两边同乘去分母，得，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再代入检验即可．
【详解】（1）解：
经检验，是原方程的解，
原方程的解为．
（2）解：
经检验是原方程的增根，
原方程无解．
20．【答案】(1)见解析；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）依次将点、、先向右平移5个单位再向下平移5个单位得到点、、，再依次连接即可，然后由图可直接得到的坐标；
（2）依次将点、、绕点按顺时针方向旋转得到点、、，再依次连接即可；
（3）根据旋转的性质可知，两对对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心的位置．
【详解】（1）解：根据题意，依次将点、、先向右平移5个单位再向下平移5个单位得到点、、，依次连接，如下图，即为所求，
如图，点，
故答案为：．
（2）解：根据题意，依次将点、、绕点按顺时针方向旋转得到点、、，依次连接，如下图，即为所求，
（3）解：如图，
连接，，利用网格分别作，的垂直平分线，交于点，
即为所求的旋转中心，
旋转中心的坐标为．
21．【答案】
（1） 【解】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1+25%)x米.
根据题意得3000(1+25%)x+15=3000x，…………（2分）
解得x=40，
经检验，x=40是分式方程的解，且符合题意，…………（4分）
所以(1+25%)x=50.
答：原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米.…………（5分）
（2） 设该公司原计划应安排y名工人施工.3000÷40=75（天）.
根据题意得300×75y≤180000，
解得y≤8.…………（9分）
答：该公司原计划最多应安排8名工人施工．…………（10分）
【关键点拨】理解题意并列出分式方程是解题的关键.
22．【答案】(1)4，14，4，14；
(2)，理由见解析；
(3)时，有最大值
【分析】（1）利用配方法可得，，时，的最小值为14；
（2）利用“作差法”，可得，再利用平方的非负性，可得，从而比较出大小；
（3）先表示出和，然后表示出，利用表示出面积，然后利用配方法，求得最大值．
【详解】（1）解：4，14，4，14，理由如下：
，，
时，的最小值为14；
（2）解：，理由如下：
，，
，
，
（3）解：点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动，时间为，
，，
在中，，，，
，
，
，，
时，有最大值，
的最大值为．
23．【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）由等边三角形的性质可求得的长，用可表示出和的长；
（2）当时，可求得，那么利用30度所对的直角边等于斜边的一半，得到；当时，可知，那么，列出方程求解，验算即可；
（3）由等边三角形的性质可知把的周长分成两部分，分成两种情况分别讨论，可得到关于的方程，可求得的值；
【详解】（1）解：点从点出发沿边向点点以的速度移动，点从点出发沿边向点以速度移动．、两点同时出发，它们移动的时间为秒钟
，
在等边中，，
故答案为：，；
（2）解：当时，
为等边三角形
当时，
故不符合题意，舍去；
综上，；
（3）解：当点在到达点后继续沿三角形的边长向点移动，设秒时，直线把的周长分成两部分，
如图，第1部分周长为：，第2部分周长为：，
①，解得，
②，解得，
答：为或时，直线把的周长分成两部分．
24．【答案】（1）；（2），见解析；（3）或
【分析】（1）根据旋转的性质可求出是等边三角形，即可求出答案；
（2）证明，即可得到结论；
（3）分两种情况分别画图，进行解答即可．
【详解】解：（1）如图2，绕点C顺时针旋转得到，
，
，，
，
是等边三角形，
，即；
（2）猜想：，
理由：由旋转可得：，，
，
，
∴
，
，
；
（3）当沿射线平移时，
如图4，作交的延长线于G，连接，
∵，，
∴，
∵，且是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵沿射线的方向平移得到，
∴，
设交于点J，
∵，
∴，
∴，
∵以A，，D为顶点的三角形是以为顶角的等腰三角形，
∴，
在中，，
∴，
即平移的距离为；
当沿射线平移时，如图5，
同理可求出平移的距离为．
综上可知，平移的距离或．