福建省福州第四十中学2024-2025学年八年级下学期3月第一次适应性 数学练习（含解析）

这是一份福建省福州第四十中学2024-2025学年八年级下学期3月第一次适应性 数学练习（含解析），共24页。试卷主要包含了 下列根式是最简二次根式的是， 下列函数中是正比例函数的是， 在中，，则的度数是， 下列计算不正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每题4分，共40分）
1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及解一元一次不等式，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得，
故选：C．
2. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，涉及二次根式性质，利用二次根式性质逐项化简即可得到答案，熟记二次根式性质及最简二次根式定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、由于，则不是最简二次根式，选项不符合题意；
B、由于，则不是最简二次根式，选项不符合题意；
C、由于，则不是最简二次根式，选项不符合题意；
D、是最简二次根式，选项符合题意；
故选：D．
3. 下列函数中是正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A、是正比例函数，故此选项符合题意；
B、的自变量在分母上，不是正比例函数，故此选项不合题意；
C、的自变量的次数是2，不是正比例函数，故此选项不合题意；
D、是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；
故选：A．
4. 在中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行结合平行线的性质可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5. 下列计算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式加减乘除等运算，根据二次根式加减乘除运算法则逐项验证即可得到答案，熟记二次根式加减乘除运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、，选项计算不正确，符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算正确，不符合题意；
故选：A．
6. 在下列由线段组成的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据各个选项中的线段长，由勾股定理的逆定理代值验证即可得到答案，熟记勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能组成直角三角形，不符合题意；
D、由，由勾股定理的逆定理可知，，，能组成直角三角形，符合题意；
故选：D．
7. 在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、，，
四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
8. 均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为折线），这个容器的形状可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据函数图像的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案．
解：注水量一定，函数图像的走势是稍陡，平，陡；
那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．
则相应的排列顺序就为C．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图像的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图像变化不同的原因是解题的关键．
9. 已知两条线段长分别为3，4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是（ ）
A. 5B. C. 5或 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当两条线段均为直角边时；当线段为斜边，线段为直角边时；利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当两条线段均为直角边时，则与它们组成直角三角形的第三条线段长，
当线段为斜边，线段为直角边时，则与它们组成直角三角形的第三条线段长，
综上所述，两条线段长分别为3，4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是5或 ，
故选：C．
10. 如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（ ）
A. 16B. 12C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过作，如图所示，分析出菱形的周长最小时的位置，再由含的直角三角形性质，可判断，过作，如图所示，在中，根据勾股定理得到，最后由菱形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：过作，如图所示：
在菱形中，，，
设，则，
，
，
，
，
，即菱形边长最小是4，
当时，则，即菱形边长最小时，在中，，，
，
过作，如图所示：
在中，，，则，
，由勾股定理可得，
菱形的周长最小时，菱形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、动点最值问题、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，分析出菱形周长最小时的位置，正确记忆相关知识点是解题的关键．
二．填空题（每题4分，共16分）
11. 如图，以三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查以的三边为边向外作图形的面积问题，涉及勾股定理、正方形面积等知识，由勾股定理得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，
，，，
在中，，即，
，，
，
故答案为：．
12. 如图，在四边形中，，相交于点O，则与面积相等的三角形是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等即可得到的面积与的面积相等．
【详解】解：∵，
∴的面积与的面积相等（同底等高），
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求点到原点的距离，勾股定理，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理解三角形．过点作轴，交轴于点，已知点P的坐标是，得，，再根据勾股定理得，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，
点P的坐标是，
，，
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，是高，，E，F分别为，的中点，若，则的度数为______（用含α的式子表示）．

【答案】
【解析】
【分析】根据三角形中位线的性质求出，根据平行线的性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出．
【详解】解：∵E，F分别为，的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵是高，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
15. 已知正比例函数的图象经过点，则m的值为________
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质．把点的坐标代入函数的解析式，即可得出关于m的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴代入得：，
解得：，
故答案为：2．
16. 若函数上存在两点，若，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
利用正比例函数的性质可得当时，随的增大而减小，即可得出答案．
【详解】函数中
随增大而减小，
，
故答案为：．
三．解答题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）解方程：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）先计算二次根式的乘法，再算加减运算，即可解答．
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：，
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解是；
18. 先化简，再求值：，其中，
【答案】，
【解析】
【分析】先算乘方，再算乘除，最后把x、y的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
【详解】解：
．
当，时，原式．
19. 如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键．
首先由得到，然后由四边形是平行四边形得到，，然后证明出，得到，即可证明出四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵，
∴，
则，
∵四边形是平行四边形
∴，，
则
∴，
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形．
20. 如图，已知在中，，，，点在边上．

（1）求作；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，点在边上，且，连接．当时，探究四边形的形状，并求出的长．
【答案】（1）作图见解析
（2）矩形，
【解析】
【分析】（1）由平行四边形性质，以为圆心、长为半径画弧；以为圆心、长为半径画弧；两条弧交于点，连接、即可得到答案；
（2）由平行四边形的判定与性质得到四边形是平行四边形，再结合，得到，进而确定为矩形，利用矩形性质、勾股定理，利用等面积法即可得到的长．
【小问1详解】
解：如图所示：

即为所求；
【小问2详解】
解：四边形的形状是矩形，
理由如下：如图所示：

∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及尺规作图-作相等线段、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质是解决问题的关键．
21. 已知，其中是的正比例函数，与成正比例，当时，；当时，，求与的函数关系式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，一定要熟练掌握并灵活运用．根据正比例的定义设出与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解．
【详解】解：设，，
则，（，），
将、和、分别代入，得
，
解得．
故函数与的函数关系式为，
即．
22. 如图，矩形中，，，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为．
（1）求的长度；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）6cm
【解析】
【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，以及勾股定理是解题的关键．
（1）首先得到，，然后设，则：，然后利用勾股定理求出，得到；
（2）根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：；
则；
【小问2详解】
由（1）得
∵底，高
∴的面积为．
23. 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．
（1）写出一种你学过的和美四边形______；
（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（ ）
A．矩形 B，菱形 C．正方形 D．无法确定
（3）如图1，点O是和美四边形的中心，分别是边的中点，连接，记四边形的面积为，用等式表示的数量关系（无需说明理由）
（4）如图2，四边形是和美四边形，若,求的长．
【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3=S2+S4；（4）
【解析】
【分析】（1）根据正方形对角线互相垂直解答；
（2）根据矩形的判定定理解答；
（3）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答；
（4）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）正方形是学过的和美四边形，
故答案为：正方形；
（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，
如图，四边形ACBD中，对角线AB⊥CD，即为“和美四边形”，
点E、F、G、H分别是AC、AD、BD、BC的中点，
∴EF∥CD∥HG，且EF=HG=CD，
EH∥FG∥AB，且EH=FG=AB，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AB⊥CD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形；
故选：A．
（3）连接AC和BD，由和美四边形的定义可知，AC⊥BD，
则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴△AOE的面积=△BOE的面积，△BOF的面积=△COF的面积，△COG的面积=△DOG的面积，△DOH的面积=△AOH的面积，
∴S1+S3=△AOE的面积+△COF的面积+△COG的面积+△AOH的面积=S2+S4；
（4）如图，连接AC、BD交于点O，则AC⊥BD，
∵在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2，
Rt△DOC中，DO2=DC2-CO2，AB=4，BC=2，CD=5，
∴可得AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=AB2+DC2-BC2=42+52-22=37，
即可得．
【点睛】本题考查是和美四边形的定义、矩形的判定、勾股定理的应用，正确理解和美四边形的定义、掌握矩形的判定定理是解题的关键．
24. 如图，在正方形中，是边上一点，过点作交边于点．
（1）求证：；
（2）直接写出，与的数量关系；
（3）如图，连接．
如图，若，求证：；
如图，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析；．
【解析】
【分析】（）由四边形是正方形得，，，然后利用同角的余角相等得，证明即可；
（）连接，由和线段和差可得，再利用勾股定理即可求解；
（）取中点，连接，，证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，从而求解；
延长至，使，设，由四边形是正方形，，得，，，证明，则，，最后由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，
由（）得，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在中，由勾股定理得：，
同理：，
∴；
【小问3详解】
如图，取中点，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，延长至，使，设，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
25. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点在轴负半轴上，交轴于点，点在轴正半轴上，且．

（1）判断的形状，并说明理由．
（2）探究线段之间的数量关系并证明．
（3）如图，点在轴负半轴上，，探究，，之间数量关系并证明．
【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析
（2），理由见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出三边长度，从而可得是等腰直角三角形；（2）证明可得，且即可得答案；（3）过作交轴于，连接，先证得，再证即可得到．
【小问1详解】
点的坐标为，点的坐标为，
，， ，
，且，
是等腰直角三角形；
【小问2详解】
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（ASA），
，
，
而是等腰直角三角形，可得，
；
【小问3详解】
，理由如下：
过作交轴于，连接，如图：

是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
（ASA），
，
中，，
，
，
，
在和中，
，
（SAS），
，
．
【点睛】本题考查全等三角形判定性质、等腰直角三角形性质及勾股定理等知识，解题的关键是利用等腰直角三角形性质证明三角形全等．