浙江省2024年全国中学生奥林匹克高中数学竞赛初赛试题 含解析

这是一份浙江省2024年全国中学生奥林匹克高中数学竞赛初赛试题 含解析，共8页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（每小题8分，共计96分）
1．设集合，集合。若，则实数的取值范围为______．
2．设函数满足，则这样的函数有______个．
3．函数的最大值与最小值之积为______．
4．已知数列满足：，，，则通项______．
5．已知四面体的外接球半径为1，，，则球心到平面的距离为______．
6．已知复数满足，则______．
7．已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为______．
8．若对所有大于2024的正整数，成立，则______．
9．设实数，且或，则的最小值为______．
10．在平面直角坐标系上，椭圆的方程为，为的左焦点；圆的方程为，为的圆心。直线与椭圆和圆相切于同一点。则当最大时，实数______．
11．设为正整数，且，则______．
12．设整数，从编号的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号。若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为______．
二、解答题（13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54）
13．正实数满足；实数满足，，定义函数
，
试问，当满足什么条件时，存在使得定义在上的函数恰在两点处达到最小值？
14．设集合，集合的个499元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得。求的最小值。
15．设，均为整系数多项式，且。若对无穷多个素数，存在有理根，证明：必存在有理根。
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题
参考答案和评分标准
本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分
一、填空题（每小题8分，共计96分）
1．答案
解 集合，要使，则，解得。
2．答案：10
解 令，则。对以下三种情况都满足条件；；，共3种。
同理对，有3种情况；，也有3种情况。
又，，显然满足条件。
所以满足已知条件的函数共有个。
（可以看出这种映射的限制仅在值域上，因此也可对值域大小分类讨论。）
3．答案：
解 令，，原式变形，当时，。
当时，。所以的最大、最小值分别为，其积为。
4．答案：
解 将已知条件变形得，将上式从1到叠加得到
，即。
5．答案：
解 因为球心在平面上的投影就是的外心，由已知求得的外接圆半径为，所以球心到平面的距离为。
6．答案：
解 由已知得，解得。显然这两个解满足题设条件。
7．答案：
解 令，，，，于是
，。
由向量与向量垂直，得到。
，当，时，取到最小值。
注：本题由向量的几何意义也直接得到答案。
8．答案：
解 因为，，，设
，为正整数，
那么，以及得到
为正整数。所以，。
9．答案：
解 令，则，，。
当时，，即。
当时，，即。
当，，时。
所以的最小值为。
10．答案：
解 因为在椭圆上，所以直线的方程为，即。
由圆的性质可知，直线与直线垂直，所以圆心坐标满足，即圆心坐标轨迹方程为，记此直线为。
要使最大，则过定点和定点所作的圆与直线相切于。
设直线与轴相交于点。由切割线定理可知，，即有
将代入上式解得（不合，舍去）或
于是解得，
11．答案：9
解：
，解得。
（以上用到了，．）
12．答案：
解 记为初始状态，
含之一；含之一；
含之一；含之一。
记为从开始到达或所需要得次数，其中为之一。
由定义，并得到以下递推关系
，，，
解得：，，．
二、解答题（13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54）
13．解 对的取值分类讨论。
（1）当时，
此时，最小值点有无穷多个，不合，舍去。
（2）当时，
此时，最小值点有无穷多个，不合，舍去。
（3）当时，
此时，最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去。
（4）当时，
此时，最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去。（以上四类7分）
（5）当时（指出该情况10分）
此时，恰有两个最大值点的充要条件为
解得。
14．证明：。
首先易用抽屉原理证明，每个元素均在中至少出现3次，所以
。
下面进行构造：令，其余元素平均分成四个子集。取
所以的最小值为6。
15．证明 记的有理根为，。由
，得到，所以有界。
若子列，则必有。下证可为有理数。
设，；，，，
由得到。记，为整数。
（1）若有无穷多个素数满足，此时，所以存在无穷多个素数。
（2）若有无穷多个素数满足，此时。因此存在整数，所以存在无穷多个素数满足，为整数。从而。
①若，则；
②若有界，则．
所以为有理数。证毕。