辽宁省鞍山市第二中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省鞍山市第二中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了2的平方根是　 　 等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）过点P作AB的垂线CD，下列选项中，三角板的放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．重合D．平行或相交
4．（3分）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，使得点A、B分别落在点A、B的位置，如果∠2＝56°，那么∠1＝（ ）
A．56°B．58°C．62°D．68°
5．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角
D．在同一平面内，如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c
6．（3分）如图，三角形ABC沿射线BC方向平移到三角形DEF（点E在线段BC上），如果BC＝10cm，EC＝6cm，那么平移距离为（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．16cm
7．（3分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
8．（3分）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．给出下列结论：
①∠BDC＝90°；
②∠C＝∠ABD；
③图中互余的角共有3对；
④点B到直线AC的距离为．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）如图，一艘船在海面上航行，到达B处时，看到灯塔A在它的北偏东45°方向，达到C处时，看到灯塔A在它的北偏西30°方向．则∠BAC＝ ．
10．（3分）如果，则（x+3）2的平方根是 ．
11．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠1：∠2＝1：4，则∠EOF的度数为 ．
12．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 ．
13．（3分）已知的整数部分为a，小数部分为b，＝ ．
14．（3分）在同一平面内，∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的2倍少30°，则∠2的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分58分）
15．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠DOE＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度数．
16．（6分）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点M画OB的平行线，交OA于点N；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）点C到直线OB的距离是线段 的长度．
（4）比较大小：PC OC（填“＞”、“＜”“＝”）．
17．（5分）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈ ；
②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ；
（3）拓展：已知，若，则z＝ ．
18．（6分）完成下面的证明．
（1）如图（1），AB∥CD，CB∥DE．求证：∠B+∠D＝180°．
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝ ①（ ②）；
∵CB∥DE，
∴∠C+∠D＝180°（ ③）．
∴∠B+∠D＝180°．
（2）如图（2），∠ABC＝∠A′B′C′，BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线．
求证∠1＝∠2．
证明：∵BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝ ④（⑤ ）．
又∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠ABC＝∠A′B′C′．
∴∠1＝∠2（ ⑥）．
19．（7分）完成下面的证明：
（1）如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA．求证：∠FDE＝∠A．
证明：∵DE∥BA，
∴∠FDE＝ （ ），
∵DF∥CA，
∴∠A＝ （ ），
∴∠FDE＝∠A；
（2）如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，求证：AC∥BD；
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，
∵∠COA＝∠BOD（ ），
∴∠C＝ ，
∴AC∥BD（ ）．
20．（6分）求下列各式中的x
（1）49x2﹣36＝0
（2）25（x﹣1）2﹣100＝0
（3）（x﹣2）3＝﹣125．
21．（8分）已知实数a，b满足，c是的整数部分．
（1）求a，b，c得值；
（2）求的立方根．
22．（14分）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α．
（1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数；
（2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示）
（3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数．
2024-2025学年度第二学期阶段性计时作业（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2不是对顶角；
故选：B．
【点评】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
2．（3分）过点P作AB的垂线CD，下列选项中，三角板的放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据垂线的定义，即可解答．
【解答】解：过点P作AB的垂线CD，下列选项中，三角板的放法正确的是
故选：C．
【点评】本题考查了垂线，熟练熟练掌握垂线的定义是解题的关键．
3．（3分）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．重合D．平行或相交
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线得出即可．
【解答】解：∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，
∴b与c的位置关系是相交，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线，相交线的应用，能根据定理进行判断是解此题的关键，注意：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．
4．（3分）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，使得点A、B分别落在点A、B的位置，如果∠2＝56°，那么∠1＝（ ）
A．56°B．58°C．62°D．68°
【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC＝∠2＝56°，再根据折叠的性质可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠B′FC＝∠2＝56°，
∴∠1+∠B′FE＝180°﹣∠B′FC＝124°，
由折叠知∠1＝∠B′FE，
∴∠1＝∠B′FE＝62°，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握矩形的对边平行、两直线平行同位角相等及折叠的性质．
5．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角
D．在同一平面内，如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c
【分析】根据平行线的判定定理、垂直的定义、补角的概念判断即可．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意；
C、如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角或两个角都是直角，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、在同一平面内，如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）如图，三角形ABC沿射线BC方向平移到三角形DEF（点E在线段BC上），如果BC＝10cm，EC＝6cm，那么平移距离为（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．16cm
【分析】观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离＝BE＝10﹣6＝4cm，进而可得答案．
【解答】解：由题意平移的距离为BE＝BC﹣EC＝10﹣6＝4（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．
7．（3分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【分析】依据题意，分析被开方数的范围即可．
【解答】解：∵9＞7＞4，
∴＞＞，
∴3＞＞2．
综上，在数轴上表示实数的点可能是Q．
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴．给定某一无理数，在数轴上找到该点所在的区间，分析该无理数的范围即可，比较简单．
8．（3分）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．给出下列结论：
①∠BDC＝90°；
②∠C＝∠ABD；
③图中互余的角共有3对；
④点B到直线AC的距离为．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】因为BD⊥AC，所以∠BDC＝90°，①符合题意，∠C+∠CBD＝90°，因为∠ABC＝90°，即∠CBD+∠ABD＝90°，可得∠C＝∠ABD，②符合题意，数出图中互余的角可证③，因为×AB×BC＝×AC×BD，已知AB＝3，BC＝4，AC＝5，可得BD的长，即证④．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，故①符合题意，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠ABC＝90°，即∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠C＝∠ABD，故②符合题意，
∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，∠CBD+∠ABD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠C＝90°，故③不符合题意，
∵×AB×BC＝×AC×BD，AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴BD＝，故④符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了点到直线的距离，余角，关键是掌握互余的定义．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）如图，一艘船在海面上航行，到达B处时，看到灯塔A在它的北偏东45°方向，达到C处时，看到灯塔A在它的北偏西30°方向．则∠BAC＝ 75° ．
【分析】过A作AD∥BE，则AD∥CF，由方向角的定义得到∠ABE＝45°，∠ACF＝30°，由平行线的性质得到∠BAD＝∠ABE，∠CAD＝∠ACF，即可求出∠BAC＝75°．
【解答】解：过A作AD∥BE，则AD∥CF，
由题意得：∠ABE＝45°，∠ACF＝30°，
∴∠BAD＝∠ABE＝45°，∠CAD＝∠ACF＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．
10．（3分）如果，则（x+3）2的平方根是 ±8 ．
【分析】先依据立方根的定义求得x的值，然后求得（x+3）2的值，最后再求平方根即可．
【解答】解：由条件可知x+3＝8，
∴x＝5，
∴（x+3）2＝64，
∴64的平方根是，
故答案为：±8．
【点评】本题考查的是平方根、立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是正确解决本题的关键．
11．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠1：∠2＝1：4，则∠EOF的度数为 75° ．
【分析】首先根据OE平分∠BOD，可得∠1＝∠BOE，再根据∠1：∠2＝1：4，计算出∠DOB和∠DOE的度数，然后计算出∠EOC的度数，再根据角平分线的定义可得∠EOF＝75°．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，
∴∠1＝∠BOE，
∵∠1：∠2＝1：4，
∴设∠1＝x°，则∠EOB＝x°，∠AOD＝4x°，
∴x+x+4x＝180°，
解得：x＝30，
∴∠1＝30°，∠DOB＝60°，
∴∠COE＝150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF＝75°，
故答案为：75°．
【点评】此题主要考查了邻补角的性质和角平分线定义，关键是正确理清图中角之间的和差关系．
12．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 105° ．
【分析】由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3，而∠2﹣∠1＝75°，即可得到∠4+∠3＝105°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠4+∠2＝180°，
∴AE∥BF，
∴∠1＝∠3，
∵∠2﹣∠1＝75°，
∴∠2﹣∠3＝75°，
∴∠4+∠2﹣（∠2﹣∠3）＝180°﹣75°＝105°，
∴∠4+∠3＝105°．
故答案为：105°．
105°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3．
13．（3分）已知的整数部分为a，小数部分为b，＝ ．
【分析】首先得出a，b的值，进而代入原式求出即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴的整数部分为a＝3，小数部分为，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是找出a＝3，，解此类题型时，根据无理数的大致范围找出代数式的整数和小数部分是关键．
14．（3分）在同一平面内，∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的2倍少30°，则∠2的度数为 30°或70° ．
【分析】分两种情况讨论，利用平行线的性质，分别得到∠1与∠2的关系，再根据∠1＝2∠2﹣30°，即可求出∠2的度数．
【解答】解：如图1，
∵a∥c，b∥d，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∵∠1比∠2的2倍少30°，
∴∠1＝2∠2﹣30°＝∠2，
∴∠2＝30°；
如图2，
∵a∥c，b∥d，
∴∠2+∠4＝180°，∠1＝∠4，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1比∠2的2倍少30°，
∴∠1＝2∠2﹣30°，
∴2∠2﹣30°+∠2＝180°，
∴∠2＝70°，
故答案为：30°或70°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
三．解答题（共8小题，满分58分）
15．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠DOE＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度数．
【分析】根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°，
∵∠BOE：∠EOD＝2：3，
∴∠BOE＝×70°＝28°，
∴∠AOE＝180°﹣28°＝152°．
【点评】本题考查的是对顶角和邻补角，关键是利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解．
16．（6分）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点M画OB的平行线，交OA于点N；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）点C到直线OB的距离是线段 CP 的长度．
（4）比较大小：PC ＜ OC（填“＞”、“＜”“＝”）．
【分析】（1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可；
（3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可；
（4）根据垂线段最短，解决问题．
【解答】解：（1）OB的平行线MN如图所示；
（2）OB的垂线PC如图所示；
（3）点C到直线OB的距离是线段CP的长度．
故答案为：CP；
（4）根据垂线段最短可知CP＜OC，
故答案为：＜．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（5分）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
（1）表格中x＝ 0.1 ；y＝ 10 ；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈ 31.6 ；
②已知＝1.8，若＝180，则a＝ 32400 ；
（3）拓展：已知，若，则z＝ 0.012 ．
【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）①≈31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012．
【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．
18．（6分）完成下面的证明．
（1）如图（1），AB∥CD，CB∥DE．求证：∠B+∠D＝180°．
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝ ∠C ①（ 两直线平行，内错角相等 ②）；
∵CB∥DE，
∴∠C+∠D＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ③）．
∴∠B+∠D＝180°．
（2）如图（2），∠ABC＝∠A′B′C′，BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线．
求证∠1＝∠2．
证明：∵BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝ ∠A'B'C' ④（⑤ 角平分线的定义 ）．
又∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠ABC＝∠A′B′C′．
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ⑥）．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠B+∠D＝180°．
（2）根据角平分线的定义，即可得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠A'B'C'，再根据∠ABC＝∠A′B′C′，即可得出∠1＝∠2．
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）；
∵CB∥DE，
∴∠C+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B+∠D＝180°．
（2）证明：∵BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠A'B'C'（角平分线的定义）．
又∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠ABC＝∠A′B′C′．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：∠C，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补；∠A'B'C'，角平分线的定义，等量代换．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
19．（7分）完成下面的证明：
（1）如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA．求证：∠FDE＝∠A．
证明：∵DE∥BA，
∴∠FDE＝ ∠BFD （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵DF∥CA，
∴∠A＝ ∠BFD （ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠FDE＝∠A；
（2）如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，求证：AC∥BD；
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，
∵∠COA＝∠BOD（ 对顶角相等 ），
∴∠C＝ ∠D ，
∴AC∥BD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠FDE＝∠BFD，∠A＝∠BFD，推出即可；
（2）根据对顶角相等和已知求出∠C＝∠D，根据平行线的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥BA，
∴∠FDE＝∠BFD（两直线平行，内错角相等），
∵DF∥CA，
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∴∠FDE＝∠A，
故答案为：∠BFD，两直线平行，内错角相等，∠BFD，两直线平行，同位角相等；
（2）证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，
又∵∠COA＝∠BOD（对顶角相等），
∴∠C＝∠D，
∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等，∠D，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
20．（6分）求下列各式中的x
（1）49x2﹣36＝0
（2）25（x﹣1）2﹣100＝0
（3）（x﹣2）3＝﹣125．
【分析】（1）将36移项后，再将x2的系数为1，最后根据平方根的性质即可求出x的值；
（2）将（x﹣1）看作一个整体，然后类似（1）的步骤进行解答即可．
（3）将（x﹣2）看作一个整体，根据立方根的性质即可求出x的值．
【解答】解：（1）49x2＝36，
x2＝
x＝±
（2）（x﹣1）2＝＝4
x﹣1＝±2，
x＝3或x＝﹣1
（3）x﹣2＝﹣5
x＝﹣3
【点评】本题考查平方根与立方根的性质，解题的关键是将方程化为：x2＝a形式，然后根据性质求出x的值．本题属于基础题型．
21．（8分）已知实数a，b满足，c是的整数部分．
（1）求a，b，c得值；
（2）求的立方根．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，估算出，即可得出c的值；
（2）先求出的值，再求立方根即可．
【解答】解：（1）∵，，|b+3|≥0，
∴a﹣9＝0，b+3＝0，
∴a＝9，b＝﹣3，
∵，
∴，
∴c＝3，
∴a，b，c得值分别为9，﹣3，3．
（2）∵a＝9，b＝﹣3，c＝3，
∴，
∵，
∴的立方根为﹣3．
【点评】本题考查了非负数的性质、无理数的估算、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
22．（14分）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α．
（1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数；
（2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示）
（3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数．
【分析】（1）过M作MN∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠BEM＝∠NME，∠DFM＝∠NMF，进而即可得解；
（2）由题干易得∠MFN＝10°，∠DFN＝30°，再根据（1）中结论可得∠BEM＝α﹣20°，所以∠MEN＝3∠BEM＝3α﹣60°，进而可求∠EGF和∠EGN的度数，进而利用三角形内角和即可得解；
（3）由题干易得，然后分类讨论，当时或时，再设参建立方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠BEM＝∠NME，∠DFM＝∠NMF，
∵∠EMF＝α＝80°，
∴∠NME+∠NMF＝80°，
∴∠BEM+∠DFM＝80°；
（2）∵，∠DFM＝20°，
∴∠MFN＝10°，∠DFN＝30°，
∵∠BEM+∠DFM＝α，
∴∠BEM＝α﹣20°，
∵，
∴∠MEN＝3∠BEM＝3α﹣60°，
∴∠EGF＝∠BEM+∠DFG＝α﹣20°+30°＝α+10，
∴∠EGN＝180°﹣∠EGF＝170°﹣α，
∴∠ENF＝180°﹣∠MEN﹣∠EGN
＝180°﹣（3α﹣60°）﹣（170°﹣α）
＝70°﹣2α；
（3）方法一：∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α，
∴，
（Ⅰ）如图3，当时，
设∠PFN＝x，则∠CFP＝2x＝∠DFM，∠CFN＝3x，
∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α，
∴∠BEM＝α﹣2x，
∴∠AEM＝180°﹣α+2x，
∵EN平分∠AEM，
∴，
∴∠1＝180°﹣∠ENF﹣∠NFP＝，
∵∠1+∠2＝180°，
∴，
∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°，
∴，
解得x＝17.5°，
∴∠CFN＝3x＝52.5°；
（Ⅱ）如图4，当时，
设∠CFP＝x，则∠PFN＝2x，∠CFN＝3x，
∴∠DFM＝∠CFP＝x，
∵∠MFD+∠BEM＝α，
∴∠BEM＝α﹣x，
∴∠AEM＝180°﹣α+x，
∵EN平分∠AEM，
∴，
∵∠ENF+∠NFP+∠1＝180°，
∴，
∴，
∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°，
∴，
解得x＝14°，
∴∠CFN＝3x＝42°；
综上，∠CFN的度数为52.5°或42°．
方法二：设∠CFN＝x，
（Ⅰ）如图3，当时，
∴，
∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α，
∴，
∴，
∵EN平分∠AEM，
∴，
∴∠2＝180°﹣∠EMF﹣∠MEN＝，
∵∵∠1+∠2＝180°，
∴，
∴，
∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α，
即，
解得x＝52.5°，
即∠CFN＝52.5°；
（Ⅱ）如图4，当时，
∴，
∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α，
∴，
∴，
∵EN平分∠AEM，
∴，
∴，
∵∠1+∠2＝180°，
∴，
∴，
∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α，
即，
解得x＝42°，
即∠CFN＝42°；
综上，∠CFN的度数为52.5°或42°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、利用一元一次方程解决几何问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．a
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10000
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x
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
C
C
A
B
B
a
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