黑龙江省哈尔滨市第十七中学2024-2025学年七年级下学期3月考试 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第十七中学2024-2025学年七年级下学期3月考试 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各点在第四象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数解答．
【详解】解：纵观各选项，第四象限点是．
故选：A．
2. 下列方程组中，是二元一次方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
利用二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】A．不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意；
B．整个方程组里含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意；
C．符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意；
D．最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意．
故选C．
3. 若点在轴负半轴，到轴的距离是3，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．依据点在轴负半轴，到轴的距离是3，即可得出点P的坐标．
【详解】解：∵点在轴负半轴，到轴的距离是3，
∴点P的坐标为，
故选：B．
4. 已知、两点分居轴两侧，且到轴距离相等，轴，，则点坐标（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，根据平行于x轴直线上的点纵坐标相同，到y轴的距离为横坐标的绝对值进行求解即可．
【详解】解：∵轴，且P，Q两点到y轴的距离相等，，
∴点Q的纵坐标为2，横坐标的绝对值为3，
∵点与点Q在y轴两侧，
∴点Q的横坐标为3，
∴．
故选：A．
5. 如图，已知米，下列能准确描述、位置关系的是（ ）
A. 在北偏西方向，相距700米处
B. 在西偏北方向，相距700米处
C. 在西偏北方向，相距700米处
D. 在北偏西方向，相距700米处
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了方向角，关键是掌握方向角的定义．根据方向角的定义即可得出答案．
【详解】解：由方位图可得，在北偏西方向，相距700米处．
故选：D．
6. 如果是方程的一组解，那么代数式的值是（ ）
A. 8B. 5C. 11D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．将代入方程，可得，再代入求解即可．
【详解】解：是方程的一组解，
，
，
故选：C．
7. 如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
【详解】解：根据图示可得，
故选：B．
8. 甲乙两地相距480千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用20小时，逆水行船用26小时，若设船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到顺水路程及逆水路程的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度．两个等量关系为：顺水时间顺水速度；逆水时间逆水速度，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：根据题意可得，顺水速度，逆水速度，
根据所走的路程可列方程组为，
故选：．
9. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（ ）
A. 8B. 4C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．由题意可得线段先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到线段，于是可求出、的值，然后计算即可．
【详解】解：点，的坐标分别为，，若将线段平移至，
线段先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到线段，
，，
．
故选：B．
10. 已知点，下列说法①点到轴的距离是2；②点到轴的距离是3；③轴；④；其中正确的有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形及点到坐标轴的距离，掌握平面直角坐标系中坐标与图形及点到坐标轴的距离是关键．根据平面直角坐标系中坐标与图形及点到坐标轴的距离进行判断．
【详解】解：①点到轴的距离是，故①错误；
②点到轴的距离是，故②正确；
③点，纵坐标相同，轴，故③错误；
④，故④正确；
所以正确的有2个．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 将方程写成用含的代数式表示的形式，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】把方程2x+y=8写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到方程的左边，其它的项移到另一边，并把y的系数化为1．
【详解】解：移项，得y=8-2x．
故答案为y=8-2x．
【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能，表示谁就该把谁放到方程的左边，其它的项移到另一边．系数化为1.此题直接移项即可．
12. 已知，在轴上，则点坐标______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握特征是解题的关键．
根据在轴上的点坐标纵坐标为，进行求解即可．
【详解】解：∵在轴上，
，
解得：，
，
．
故答案：．
13. 如图，点、的坐标分别为、，将三角形沿轴向右平移，得到三角形，已知．则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查点的坐标，平移的性质；解题关键在于利用平移的性质．利用，三角形沿轴向右平移了个单位得到三角形，再利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：∵点、的坐标分别为、，将三角形沿轴向右平移，得到三角形，已知．
∴，
∴三角形沿轴向右平移了个单位得到三角形，
∴点的坐标为：．
故答案为：．
14. 一个两位数个位与十位之和等于8，交换两数的位置，得到一个新的两位数，所得新数是原数的4倍还多3，则原来的两位数是______．
【答案】17
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，得到新数与原数的等量关系是解决本题的关键．设原来个位数字是，十位数字是，根据若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数是原数的4倍还多3，可列方程求解．
【详解】解：设原来个位数字是，十位数字是，
，
．
．
所以原数为17．
故答案为：17．
15. 关于，的方程组的解、互为相反数，则的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，体现了整体思想，两式相加得到是解题的关键．两式相加得到，根据，互为相反数，得到，从而，解方程即可得出答案．
【详解】解：方程组中两式相加得：，
，
，互为相反数，
，
，
．
故答案为：6．
16. 对于、定义一种新运算“”：，其中、为常数，已知，，那么______．
【答案】19
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知等式利用题中的新定义化简，计算求出与的值，即可求出所求．
【详解】解：利用题中的新定义化简得：，
解得：，
．
故答案为：19．
17. 已知到轴和轴的距离相等，则等于______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．根据到轴和轴的距离相等列方程，并解方程即可．
【详解】解：由题意得，
或
解得或
故答案为：或．
18. 在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图①的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”．若下图也是一个“幻方”，则的值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和算术平方根，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：9．
19. 如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（－1，1），紧接着第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（－2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100坐标是________________．
【答案】
【解析】
【分析】通过图象可知，当跳到A2n时，坐标为（n＋1，n）
【详解】解：由图象可知，点A每跳两次，纵坐标增加1，A2、A4、A6、A8…各点坐标依次为（2，1）、（3，2）、（4，3）、（5，4）…
则A2n横坐标为：n＋1，纵坐标为n
A100坐标为（51，50）
故答案为：（51，50）．
【点睛】本题为平面直角坐标系中的点坐标规律探究题，解答时注意分别观察横纵坐标的变化规律．
20. 如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键．分别过点作，表示出，求出，即可解答．
【详解】解：如图，分别过点作，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共计60分）
21. 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，准确计算．
（1）加减消元法解二元一次方程组；
（2）将原方程组进行化简然后用代入消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程的解为：；
【小问2详解】
解：，
原方程组可变为：，
由①得，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：．
22. 如图，平面直角坐标系中三角形的三个顶点坐标是，，．将三角形平移到三角形，顶点A的对应点．
（1）请在图中画出三角形，直接写出点的坐标．
（2）直接写出三角形的面积．
【答案】（1）作图见解析，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图平移变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形的面积等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据点A平移到点处，确定平移规则，作图即可；结合平移规则求出坐标即可；
（2）根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得解．
【小问1详解】
解：由图可知：将点平移得到，然后根据平移规则得是先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，然后根据规则得出、，描点后首尾顺次连接即画出三角形，
如图所示：
根据平移规则可知点；
【小问2详解】
解：．
23. 甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快．
（1）甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？
（2）甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？
【答案】（1）甲、乙两人速度分别是米/每分钟，米/每分钟
（2）甲、乙两人跑一圈各需要3分钟，6分钟
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，根据“如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）由路程速度时间进行求解即可．
【小问1详解】
解：设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，
依题意，得：，
解得：．
答：甲、乙两人速度分别是米/每分钟，米/每分钟；
【小问2详解】
解：甲跑一圈各需要（分钟），
乙跑一圈各需要（分钟），
24. 为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元．
（1）那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？
（2）若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水多少立方米？
【答案】（1）一级水费2.6元，二级水费3.2元
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键．
（1）设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，根据五月份张华家用水，缴费元；李明家用水，缴费元，列出方程组，解方程组即可．
（2）设小丽家三月份用水立方米，根据小丽家3月份缴费95.2元列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解，设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，
根据题意列方程组：，
解得：，
答：一级水费单价为元，二级水费单价为元．
【小问2详解】
设小丽家三月份用水立方米，
则
解得
答：小丽家三月份用水立方米．
25. 阅读材料并回答下列问题：已知，都是实数，且满足，就称点为“卓越点”．例如：点，令得，，所以不是“卓越点”，点，令得，，所以是“卓越点”．
（1）请判断点，是否为“卓越点”，并说明理由．
（2）以关于，的方程组的解为坐标的点是“卓越点”，求的值．
【答案】（1）是“卓越点”；不是“卓越点”；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的运用，理解“卓越点”的计算方法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键．
（1）根据“卓越点”的计算方法求解即可；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组得到，再根据“卓越点”的计算方法得到，由此解方程即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，
令，
解得，，
∵，
∴是“卓越点”；
令，
解得，，
∵，
∴不是“卓越点”；
【小问2详解】
解：，
①②得，，
解得，，
把代入①得，，
解得，，
∴二元一次方程组的解为，
∴，
∵点是“卓越点”，
∴令，
解得，，
∴，整理得，，
解得，．
26. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元．
（1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元；
（2）共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆；
（3）购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润．
（1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元；
【小问2详解】
解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，
共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆；
【小问3详解】
解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元．
27. 如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上．
（1）求、两点坐标．
（2）若有点从点出发，以每秒个单位长度沿射线方向运动，，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示．
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点、两点的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）或，或，或
【解析】
【分析】直角坐标系中点的坐标特征，坐标与图形，三角形的面积公式，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论．
（1）根据直角坐标系中点的坐标特征可得，进而求出，即可求解；
（2）过点作于点，根据等面积法求出，由题意得：，
分两种情况：当时，当时，根据即可求解；
（3）过点作轴于点，过点作于点，由题意可得：，，推出，根据，求出，得到，推出，结合题意可得，设，则，可求出点的坐标，由（2）知，，可求出或，进而得到或，然后根据，求出或，点的横坐标为或，利用三角形面积公式，结合或，点P的纵坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：点在轴上，
，
解得：，
，，，
，；
【小问2详解】
如图，过点作于点，
，
，
，，
，即，
解得：，
由题意得：，
当时，，
；
当时，，
；
综上所述，；
【小问3详解】
过点作轴于点，过点作于点，
，轴，垂足是点，且，
，，
，
∵，
∴，
解得：，
，
，
，
，
，
设，则，即，
或，
或，
由（2）知，，
或，
解得：或，
或，
，
或，
解得：或，
点的横坐标为或，
当P点横坐标为时，点P在线段上，
∵，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
当P点横坐标为时，点P在射线上，
∵，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
或，或，或．
4
5
8