四川省2024届高三数学下学期第一次统一监测试题理含解析

这是一份四川省2024届高三数学下学期第一次统一监测试题理含解析，共19页。试卷主要包含了展开式的常数项是，函数的图象大致是，已知，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､班级､考场/座位号用05毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码贴码区”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用05毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿纸上､试卷上答题无效，
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.一次课外活动中，甲､乙､丙､丁､戊五名同学准备从羽毛球和兵乓球活动中随机选择一项参加，每个人的选择相互独立，则甲､乙两名同学参加同一项活动的概率为（）
A. B. C. D.
3.已知平面向量满足，若，则向量夹角为（）
A. B. C. D.
4.展开式的常数项是（）
A.120 B.60 C.-60 D.-120
5.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）
A.9 B.99 C.100 D.999
6.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（）
A. B.
C. D.
7.函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
8.已知，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
9.已知函数在区间上恰好有两个最值，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
10.设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为，则的面积的最大值为（）
A. B. C. D.
11.已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若为直角三角形，则（）
A. B. C. D.
12.已知函数和有相同的最小值.若，则的最大值为（）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知为虚数单位，复数，计算__________.
14.已知数列为等差数列，其前项和为，且，则__________.
15.如图，在矩形中，，点为线段的中点.沿直线将翻折，点运动到点的位置.当平面与平面所成角为时，三棱锥的体积为__________.
16.已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：，得到如下的样本数据的频率分布直方图.
（1）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率；
（3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.
18.（12分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若的角平分线交于，求的长.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，，平面平面，设平面与平面的交线为.
（1）证明：平面平面；
（2）已知.若直线与直线所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
已知定点，定直线，动点在曲线上.
（1）设曲线的离心率为，点到直线的距离为，求证：；
（2）设过定点的动直线与曲线相交于两点，过点与直线垂直的直线与相交于点，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
21.（12分）
已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若有2个零点，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与轴相交于点，以点为圆心的圆半径为2.以点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线的一个参数方程和圆的极坐标方程；
（2）设直线与圆相交于点，求的面积.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知.
（1）求不等式的解集；
（2）令的最小值为，若正数满足，证明：.
四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测
理科数学答案解析与评分标准
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的并集运算等基础知识；考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.
【解析】集合，则.
2.【答案】C
【考查意图】本小题设置体育段炼相关的数学应用情境，主要考查概率等基础知识，考查运算求解､推理论证等能力；考查概率统计等思想方法；考查数学抽象､数学建模等数学核心素养.
【解析】基本事件的总数为，甲､乙参加同一项活动包含的基本事件有，所以甲､乙参加同一项活动的概率为.
3.【答案】C
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查平面向量的数量积运算，两个向量的夹角公式等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.
【解析】由得，又，所以，故向量的夹角为.
4.【答案】B
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查二项式定理，展开式系数与常数项的求法等基础知识；考查数学运算等数学核心素养.
【解析】展开式的通项公式为，令，得2，所以该展开式的常数项为.
5.【答案】B
【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知识；考查数学运算､数学抽象等数学核心素养.
【解析】易知程序框图的功能是求，由得，所以输出.
6.【答案】D
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查数列前项和与通项公式等基础知识；考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.
【解析】由，当时，，当也满足，所以数列的通项公式为.
7.【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，以指数函数､幂函数构成的复合型函数为载体，主要考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想､化归与转化等数学思想，考查直观想象､逻辑推理等数学核心素养.
【解析】，可知为偶函数，排除；当时，，若0时，，则时，，则，B不符题意，故选A.
8.【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化､指数函数与对数函数的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.
【解析】依题意，，且，且.由于，所以，故.
9.【答案】C
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数图象与性质等基础知识；考查数形结合思想，应用意识；考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.
【解析】由，当，函数在区间上恰好有两个最值，由正弦函数的图象知，得.
10.【答案】B
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体为载体，主要考查空间点､线､面位置关系､直线与平面所成的角等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､数学运算､逻辑推理等核心素养.
【解析】
易知平面为平面或与其平行的平面，只能为三角形或六边形.当为三角形时，其面积的最大值为；当为六边形时，此时的情况如图所示，设，则，依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可由两个等腰梯形构成，其中，两个等腰梯形的高分别为，，则，当且仅当时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最大，最大值为.
11.【答案】C
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，主要考查双曲线的标准方程､双曲线的简单几何性质等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查数学运算､逻辑推理及直观想象等数学核心素养.
【解析】
该双曲线的渐近线方程为，则，若为直角三角形，则只可能或者，这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可.如图所示，在Rt中，有.又，，所以.
12.【答案】A
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程､导数综合应用问题，主要考查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程､数形结合､分类与整合､化归与转化等思想方法，考查数学抽象､逻辑推理等数学核心素养.
【解析】依题意，，可知时，时，，则-2时，取得极小值，也即为最小值；又时，时，，则时，取得极小值，也即为最小值.由，解得.因为，所以，可知，且，所以，令，则，当，当，故时，取极大值，也即为最大值.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养.
【解析】.
14.【答案】27
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质､前项和等基础知识；考查数学运算等数学核心素养.
【解析】为等差数列，得，所以，则.
15.【答案】
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点､线､面位置关系､直线与平面所成的角､三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､数学运算､逻辑推理等数学核心素养.
【解析】
如图，取的中点，连接，与交于点.由翻折前后的不变性可知，.由已知，四边形为正方形，则平面，所以为平面与平面所成角的平面角；且平面平面，即在平面上的射影在直线上（点在线段或上均可）.由题意可知，在Rt中，，则
，又，则.
16.【答案】
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定义､标准方程和几何性质､圆的方程､直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､数学运算､逻辑推理等数学核心素养.
【解析】
如图，设，设与交于，Rt中，，而，则，当最小时，取最小值.而，当且仅当时，取得最小值，此时.此时，的直线方程为.
亦可构造一个以为圆心，为半径的圆：，与圆的方程相减，可得的直线方程：.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（12分）
【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主要考查离直方图识别､统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析､数学建模及数学运算等数学核心素养.
【解析】（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：
.
（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的频率为：
.
所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率为0.6.
（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗为事件，该棵果苗受到这种病虫
害为事件，则.
18.（12分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理､余弦定理，三角形面积公式，角平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.
【解析】
（1）解法一：
由及正弦定理，
可得.
又，
所以.
又在中，，故，
所以.
解法二：由及余弦定理，
可得.
即，
所以.
故.
（2）由（1）知.
又，
所以.
所以.
说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点作的平行线交于点，则为等边三角形（边长为），于是，解得.
19.（12分）
【考查意图】本小题设置数学学习､探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考查多面体的结构特征､平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化､数形结合等思想方法，考直观想象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.
【解析】（1）因为平面平面，所以，平面.
又，所以，平面平面.
所以，平面平面.
（2）平面平面，所以平面.
又平面平面的交线平面，所以（可知直线与平面所成角等于直线与平面所成角）.
由直线与直线所成的角为，知.
可推出.
由（1）可知，平面，即平面平面.
过作直线的垂线，垂足为，则平面.
方法1：
，则，则.
是一个直角三角形，
，
.
设点到平面的距离为，
由，得，
解得.
直线与平面所成角的正弦值为.
方法2：
以为坐标原点，分别以向量的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系.
则，
，
设平面的法向量为，
由得
取，得，
则平面的一个法向量为.
又，令直线与平面所成角为，
则.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
20.（12分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆的方程､椭圆的简单几何性质､直线与椭圆的位置关系；考查数形结合､函数与方程､化归与转化､分类与整合等思想方法，考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.
【解析】（1）由题意，曲线的离心率.
显然，，即.又因为，
所以，
故，即.
（2）设点的坐标分别为.
由题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为.
联立方程组消去并整理得，.
此方程有两个不等实根，分别为，且满足
.
由已知，点的坐标为，
则直线的方程为.
根据椭圆的对称性可知，如果直线过定点，则此定点一定在轴上.
令，可得.
而，所以
.
此时，为定值.
当直线的斜率为0时，直线与直线重合，必然过点.
综上，直线过定点，定点的坐标为.
21.（12分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以函数与不等式为载体，设计不等式､函数零点问题，主要考查函数性质､导数应用等基础知识；考查化归与转化､函数与方程等数学思想，考查
数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.
【解析】（1）令，
则.
①当时，知在上单调递增.
又，
则.
当时，由于单调递增，则，所以在上单调递增.
又，所以当时，，即，不符题意.
②当时，.
可知当时，；当时，.
所以当时，取得极小值，也即为最小值，该最小值为.
所以，即，不等式成立.
③当时，可时，，故不恒成立，不符题意.
综上所述，的值为0.
（2）欲证，
只需证，
即证明，
因为，
两式相减，得，
整理得，
所以，只需证明不等式，
即证明，即证明，
不妨设，令，则，
只需证明，即证明即可，
令，则，
又令，则，
所以，当时，，即单调递减，则，
则时，单调递增，则，
所以，原不等式成立，故不等式得证.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查直线的参数方程､圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系等基础知识；考查化归与转化､数形结合等思想方法；考查数学运算､推理论证､直观想象等数学核心素养.
【解析】（1）直线的一个参数方程为（为参数）.
由上，直线与轴的交点坐标.
所以，圆的极坐标方程为.
（2）
由（1）可知，直线的倾斜角为，圆的圆心为，半径为2.
如图，易知，
所以的面积.
说明：本小题亦可用几何关系求出点到直线的距离，用求出面积；还可在直角坐标系内用普通方程､在极坐标系内求出点的坐标求解.
23.[选修：不等式选讲]（10分）
【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查均值不等式､不等式证明方法等基础知识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理､数学运算等数学核心素养.
【解析】（1）当时，，解得；
当，得；
当时，，可得.
综上所述，的解集为.
（2）由（1）知，当时，；当时，1时，，则的最小值为2，即.
故，
，
当且仅当取“=”.
所以.