山东省威海市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由共轭复数的概念得，进而根据复数的乘法运算可得.
【详解】由可得，
故，
故选：C
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合求出集合，再求出，最后根据补集的定义求出.
【详解】已知，集合.
当时，两边同时立方可得；
当时，两边同时立方可得；
当时，两边同时立方可得；
当时，两边同时立方可得；
当时，两边同时立方可得.
所以. 所以.
因为，，所以.
故选：B.
3. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得.
【详解】函数，
因此把函数图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象.
故选：C
4. 下列散点图中，线性相关系数最小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案．
【详解】观察选项A的散点图，这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于；
选项B的散点图中，线性负相关程度不及A，比较分散，即线性相关系数要比选项A的大.
选项C的散点图里，散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数.
选项D的散点图中，散点比较分散，线性相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大.
综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.
故选：A.
5. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，利用对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意得，，
由，可得，
所以.
故选：.
6. 设直线，点，已知点到的距离与它到的距离之比为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点，根据条件计算可得点的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，结合椭圆定义可得结果.
【详解】设点，则点到的距离，，
由得，，
∴点的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，其中，
根据椭圆定义得，.
故选：D.
7. 已知函数，若对，且，都有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知及单调性定义知在上单调递减，根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围.
【详解】由题设，，且，都有，
所以在上单调递减，易知在上单调递减，
当时，满足题设，
当时，或，
综上，.
故选：A
8. 已知是与的等比中项，直线与圆交于两点，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，，圆心到直线的距离为，利用圆的弦长公式得，换元后利用基本不等式求最值即可.
【详解】
因是与的等比中项，故，，
圆的圆心坐标为，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
则，
设，
则，
当且仅当时等号成立，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题解题关键是巧妙变形得到，进而巧妙换元结合基本不等式求最值.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设向量，则（ ）
A. 是⊥的充分条件B. 是⊥的必要条件
C. 是的必要条件D. 是的充分条件
【答案】AC
【解析】
【分析】AB选项，由得到方程，求出或，A正确，B错误；CD选项，根据向量平行得到方程，求出或，C正确，D错误.
【详解】AB选项，，解得或，
故是⊥的充分条件，A正确，B错误；
CD选项，令，解得或，
故是的必要条件，C正确，D错误.
故选：AC
10. 设为三个平面，且，则（ ）
A. 若∥，则∥
B. 若∥，则∥
C. 若，则
D. 若与所成的角相等，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：根据面面平行的性质定理分析判断；对于B：根据线面平行的性质定理分析判断；对于C：根据面面垂直、线面平行的性质定理分析判断；对于D：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：因为∥，，
根据面面平行的性质定理可得：∥，故A正确；
对于选项B：因为∥，，，由线面平行的性质定理可得∥，
同理可得∥，所以∥，故B正确；
对于选项C：因为，则存在，使得，
又因为，则∥，且，，
可得∥，所以，故C正确；
对于选项D：例如正四面体，
根据对称性可知平面与平面、平面所成的角相等，
且平面平面，但与平面不垂直，故D错误；
故选：ABC.
11. 设，已知函数（ ）
A. 在上单调递减
B. 当时，存在最小值
C. 设，则
D. 设，若存在最小值，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：取，画图即可判断，对于B，由函数单调性即可判断；对于C,数形结合即可判断，对于D：先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在，分析可解.
【详解】对于A，取，画出函数图象，
可知在不是单调递减；故A错误；
对于B：对于B，当时，
当时，；
当时，显然取得最小值；
当时，，
综上：取得最小值，故B正确；
对于C，结合图像，
易知在，且接近于处，距离最小，
当时，，当且接近于处，，
此时，，故C正确；
依题意，，
当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递减的射线；
当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴下方的图象（即半圆）；
当时，，易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线；
因为，
结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，
点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为斜率为，则，
故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然要保证在上，才能满足取得最小值，
所以只需，即都可满足题意，保证，
否则无最小值，故.D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：D选项，解决的关键求出，且上，从而可得的取值范围.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知甲、乙两人投篮命中率分别为，并且他们投篮互不影响现，每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】甲比乙进球数多包含以下三种情况：①甲进1球，乙进0球，②甲进2球，乙进1球，③甲进2球，乙进0球，由此能求出甲比乙进球数多的概率．
【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮2次，
甲比乙进球数多包含以下两种情况：
①甲进1球，乙进0球，概率为：，
②甲进2球，乙进1球，概率为：，
③甲进2球，乙进0球，概率为：
甲比乙进球数多的概率．
故答案为：
13. 已知双曲线的半焦距为，直线过点且与的一条渐近线平行，若原点到的距离为，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由点到线的距离公式及求解即可；
【详解】易知双曲线渐近线方程为：，
故可设方程为：，即，
由题意可得：，
所以，即，
化简可得：，
可得：或
又，所以，
所以，可得，
故答案为：
14. 已知函数，若，则的最小值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】求出函数的零点，再根据得到与的关系，最后利用函数性质求出的最小值.
【详解】令，则或.
由可得；由，即（），可得.
所以函数的零点为和.
因为恒成立，所以，即.
将代入，可得.
设（），对求导，可得.
令，即，因为，所以，解得.
当时，，，则，所以在上单调递减；
当时，，，则，所以在上单调递增.
所以在处取得极小值，也是最小值，，即的最小值为.
故答案为：1
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）已知是边上的点，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）最小值为9
【解析】
【分析】（1）先应用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解即可；
（2）先根据面积公式列式得出，最后应用基本不等式计算求解最小值即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，
可得，
因为，所以.
【小问2详解】
由可得，
即，
可得，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为9.
16. 现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本.
（1）把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率；
（2）从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为，求的分布列及期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】（1）根据相邻、不相邻问题的处理方法可得结果.
（2）分析得的可能取值为，计算对应的概率可得结果.
【小问1详解】
记事件：数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻，
则.
【小问2详解】
的可能取值为，
，
，
，
∴的分布列为
∴.
17. 如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点

（1）证明：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1） 先得出平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可；
（2）先应用面面垂直性质定理建系，再设，计算线面角即可求参.
【小问1详解】
连接交于点，连接，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又因为为的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向，
以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，可得，
令，则，
假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为，
设，
因为，则，
又因为，所以，
则，
化简得，解得，
因为，所以，
所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为，
此时.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在，使得曲线关于直线对称.若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（3）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）存在，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求导函数再得出斜率，点斜式写出切线方程即可；
（2）先根据定义域得出，再根据对称性定义计算求解得出参数；
（3）法1：分，等情况分类求解导函数得出单调性计算求参；法2：先化简再构造函数进而结合导函数讨论单调性计算求解.
【小问1详解】
当时，，，
则，所以，
可得曲线在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
令，
所以的定义域为，
若曲线关于直线对称，
所以的定义域关于对称，故，
则有，
所以，
即，
整理得，所以，
故存在，使曲线关于直线对称.
【小问3详解】
法1：由题，即，
当时，，
所以即，
令，则，
若，所以，所以不满足题意；
若，当时，，
所以在上单调递减，可得，
所以不满足题意；
若，当时，，
所以在上单调递增，
所以，所以满足题意；
当时，，可得，
所以即，
令，则，
由，所以当时，，
所以在上单调递减，所以，
所以不满足题意，
综上所述，的取值范围为.
法2：因为，所以即，
设，则，
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
可得，所以在上单调递减，可得，
所以不满足题意，
当时，由得，
若，则，
当时，，所以在上单调递减，
可得，所以在上单调递减，
所以，所以不满足题意，
若，则，所以在上单调递增，
可得，所以在上单调递增，
可得，所以满足题意，
综上所述，的取值范围为.
19. 已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为.
（1）当时，求；
（2）设，证明：数列等差数列；
（3）设为的面积，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由点在可得，根据直线的方程联立抛物线方程可得；
（2）由点差法可得，得，进而确定，可得，进而可得，即得，即证；
（3）由，由点差法可，
进而可得直线的斜率为，可得，由直线的方程为，可得到直线的距离为，进而，即证.
【小问1详解】

因为点在上，所以，解得，
由题意知的坐标为，直线的方程为：，
由，整理得，解得.
【小问2详解】
法一：由题意知的坐标为，
所以，又，
两式相减得，即，
由题意知，可得，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
可得，所以数列是等差数列.
法二：
由题意知的坐标为，
所以直线的方程为，
由，可得，
由题意知是直线与的公共点，所以，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
所以，所以数列是等差数列.
【小问3详解】
法一：的三个顶点为，
因为，两式相减得，即，
所以直线的斜率为，
可得，
直线的方程为，
即，
设到直线的距离为，则
所以，
所以为定值.
法2：
的三个顶点为，
可得，
，
所以
，
所以为定值.
法3：
要证为定值，只需证，
即证与面积相等，
因为，两式相减得，
即，
所以直线的斜率为，
同理可得直线的斜率为
所以，可得点到直线的距离相等，
所以，即为定值.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键能用点差法得到，进而，确定是等差数列，可得，进而依次得到，，；第三问由，可得和直线的方程为，进而得到直线的距离，进而，即证.
2
3
4