福建省泉州市2025届高三下学期3月第三次质量监测数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共19题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量满足，且，则与夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆柱底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 已知的展开式中的系数为0，则的值为（ ）
A. B. C. 640D. 1280
6. 已知拋物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与和轴都相切，则该圆被轴截得的弦长等于（ ）
A. 1B. C. 2D.
7. 已知函数，若，则的值可以是（ ）
A. B. C. 3D. 5
8. 如图，已知是圆锥轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数，构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是（ ）
A. 若平均数不变，则B. 若极差不变，则
C. 若，则中位数不变D. 若，则方差不变
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 曲线关于直线对称
C. 在区间上有4个零点D. 在区间内单调递减
11. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是等差数列，则B. 若不是递增数列，则
C. 若，则D. 若的最小值为3，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等比数列中，，则的前4项和等于______．
13. 如图，假定两点以相同的初速度运动．点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从出发，则数学家纳皮尔定义为的对数中，与的对应关系就是，其中e为自然对数的底．若点从线段的中点运动到靠近的四等分点，点同时从运动到，则______．
14. 设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点．若，且，则的离心率等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 四边形中，．
（1）求；
（2）若，求四边形的面积．
16. 如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）若该四棱台的体积等于，且，求直线到平面的距离．
17. 设函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）当时，，求的取值范围．
18. 已知双曲线，点在上，过分别作轴和轴垂线，垂足分别为和，记线段的中点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过直线与有且只有一个公共点，且与交于两点．
证明：（ⅰ）；
（ⅱ）．
19. 编号为的个球依次被等可能地涂成黑色或白色，设编号为奇数的黑色球的个数为，编号为偶数的白色球的个数为，记事件“”为．
（1）求；
（2）当时，求；