陕西省榆林市2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测数学试题 含解析

这是一份陕西省榆林市2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了 如图，是边长为的正三角形， 已知函数，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收.
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的补集与并集，可得答案.
【详解】，故.
故选：D.
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的概念，结合复数虚部的概念，可得答案.
【详解】，虚部为4.
故选：B.
3. 函数的单调增区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果.
【详解】由可得：.
故选：C.
4. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 5C. D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根据共线向量的坐标表示，解得参数，根据模长公式，可得答案.
【详解】由得，解得，由，则.
故选：A.
5. 双曲线的右焦点为，若以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得双曲线方程为，则圆心到渐近线的距离，化简后可求出离心率.
【详解】根据题意得：圆心，半径为，双曲线渐近线方程为，即，
以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，且，
圆心到渐近线的距离，即，
，
则双曲线的离心率，
故选：B
6. 如图，是边长为的正三角形.曲线是分别以为圆心，为半径画的圆弧，称曲线为螺旋线旋转一圈，然后又以为圆心，为半径画弧，，如此下去，画到第10圈，则所得螺旋线的总长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长公式分别求出的长度，从而可知此数列是为首项，为公差，项数为30的等差数列，然后利用等差数列求和公式进行求解即可.
【详解】根据弧长公式可知的长度分别为：，
所以此数列是为首项，为公差，项数为30的等差数列，
则根据等差数列的求和公式得：
该数列前30项的和为，
故选：B.
7. 交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（ ）
A. 安B. 5安C. 安D. 安
【答案】D
【解析】
【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度.
【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得.
由周期得，
再将点代入，得，
所以.
因为，所以时， 所以.
将代入得.
故选：D.
8. 已知函数，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的解析式，利用导数可得函数的单调性，根据函数与零的大小关系，化简不等式，可得参数的关系式，通过函数思想，可得答案.
【详解】法1：因为，所以在上单调递增，
又因为，
所以当时，，
当时，，
所以，，
因此当时，取得最小值.
法2：因为，所以在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
因此与函数符号相同，
原不等式等价于上恒成立，
因此，设点，则点直线上，
因此.
法3：因为，所以在上单调递增，零点为0，
又因为单调递增，零点为，
因此，当且仅当时取等号.
法4：设，则恒成立，
因为，所以为函数的极小值点，因此，
又，所以，
当时，，
由解法1知，当时，，即，
当时，，即，满足题意.
因此，下同解法1.
法5：设，则恒成立，
因为，所以为函数的极小值点，
因此，又，所以，
由解法1知在上单调递增，且，因此，下同解法1.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分.
9. 设椭圆的左、右焦点分别为是上的动点，则（ ）
A. 的周长为16B. 的最小值为
C. 的面积的最大值为12D. 存在点，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质逐项判断即可.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，，则，故A正确；
对于B，当点在椭圆的左顶点时，得，故B错误；
对于C，设的顶点，则的面积，
所以面积的最大值，故C正确；
对于D，由已知，，设存在点，使得，
则，即，
又，则，代入，
得，此方程无实数解，故D错误.
故选：AC.
10. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 角C为钝角B.
C. D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可得A正确；由余弦定理结合A的结果可得B正确；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得C正确；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可得D正确；
【详解】对于A，∵，
∴，即，
∴，又，∴一定为钝角，故选项A正确；
对于B，由余弦定理知，，化简得，故选项B正确；
对于C，∵，
∴，故选项C正确；
对于D，∵，
∴，
∵为钝角，则，，
∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值，故选项D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件将问题转化为，构造函数，化为，求，根据导数判断函数的单调性，结合函数正负情况可得在上恒成立，构造函数，求，根据导数判断函数的单调性求出函数的最值即可解题.
【详解】因为，所以，
所以可化为，
即；令，
则有对于定义域内任意，都有，
所以在上单调递减，所以在上，；
因为，所以，即，
因为，所以，即；
令，，当时，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
可化为，，因为所以；
由，可知当时，，当时，，
根据在上的单调性以及的正负情况，
有：若，则在上恒成立，所以，
即在上恒成立；令，则，
，解得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递增减，
所以时，取得最大值，，所以；
因为，，均满足题意，不合题意，所以ACD正确，B错误.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为，即.
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有__________.（用数字作答）
【答案】81
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】4名国际友人，每人有三种选择，所以种.
故答案为：81.
13. 如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么______.
【答案】3：4
【解析】
【分析】
设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，计算体积得到答案.
【详解】设三棱台高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，
，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.
14. 若把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，则曲线围成的平面区域的直径为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】解法1：根据曲线的对称性，利用两点距离公式，结合二次函数的性质，可得答案；解法2：根据曲线的对称性，利用参数方程，结合三角函数的性质，可得答案；
【详解】解法1：设曲线上任意一点到坐标原点的距离为，
则，
当且仅当时取等号.
因为曲线关于原点对称，所以曲线围成的平面区域的直径为4.
解法2：设曲线上任意一点到坐标原点的距离为，令，
则，
当且仅当时取等号.
因为曲线关于原点对称，所以曲线围成的平面区域的直径为4.
故答案为：.
15. 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；
（2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．
附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【答案】（1）X的分布列见解析，期望
（2）；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可.
【小问1详解】
从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，
则随机变量的可能取值为1，2，3
，，，
的分布列为：
数学期望．
【小问2详解】
，，
，
．
关于线性回归方程为；
在中，取，得．
预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解.
（2）利用裂项相消求和求解即可.
【小问1详解】
依题可得：，
即：，
解得，
所以.
【小问2详解】
证明：设，
则，
所以，
17. 如图1，已知为等边三角形，四边形为平行四边形，.把沿向上折起，使点到达点位置，使得平面平面，如图2所示.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）当点在线段（包括端点）上运动时，设直线与平面所成的角为，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
（3）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质可得线线垂直，再由勾股定理所得线线垂直，根据线面垂直判定与性质，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案；
（3）由题意中线面的位置关系，根据线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案.
【小问1详解】
证明：如图，设的中点为，连接.
因为为等边三角形，所以.
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面.因为平面，所以.
因为，所以，所以.
因为平面，所以平面.
又因为平面，所以.
【小问2详解】
由（1）知平面，因为平面，所以平面平面.
设的中点为，连接，则.又因为平面平面，
平面平面平面，所以平面.
设的中点为，连接.因为，所以，
以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
可得.
设平面的法向量，则，即，
取，则平面的一个法向量.
设平面的法向量，则，即，
取，则平面的一个法向量，
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
由（1）知平面，平面，所以，
，而，故的取值范围为.
18. 已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：线段垂直于轴；
（ii）记的面积为的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）由题意可得动点轨迹为抛物线，由焦点和准线，可得答案；
（2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线的斜率，研究其关系，可得答案；（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，整理函数解析式，利用导数求得最值，可得答案.
【小问1详解】
设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.
设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是.
【小问2详解】
（i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为，
联立可得：，，
则，
.
故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴
（ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以，
，
则，
令，则，
令，则，解得；
令，解得.
则在上单调递增，在上单调递减，
，所以的取值范围为.
19. 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为.
（1）求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，.
【答案】（1），0.182
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意分别对两个函数求导，建立方程组，可得答案；
（2）整理不等式，构造函数并求导，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）利用两边取对数整理不等式，构造函数，利用导数求得其最值，利用（2）的结论，可得答案.
【小问1详解】
，
因为，所以，解得，
.
【小问2详解】
解法1：设，
则在上恒成立.若，则显然成立；
若，
设，
，当时，，
因此，即在上单调递增，
时，，满足题意；
当时，在上单调递减，因为，
所以存在唯一的，使得，
当时，，即在单调递减，
时，，与已知矛盾，舍去.
综上，实数的取值范围为.
解法2：设，
则在上恒成立.因为，，
所以，解得，
当时，，
在上单调递增，时，恒成立.
综上，实数的取值范围为.
【小问3详解】
证明：要证时，，即证，
设，则，令得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
因此，
因此只需证，即证.
设，
则在上单调递增，
，即，
令，则，因此原不等式成立.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
超市
A
B
C
D
E
广告支出x
2
4
5
6
8
销售额y
30
40
60
60
70
1
2
3