福建省福州市2023_2024学年高二数学下学期4月期中试题2含解析

这是一份福建省福州市2023_2024学年高二数学下学期4月期中试题2含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择性必修三模块试卷
（完卷120分钟满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1若函数，则（）
A. 0B. C. D.
2. 甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，则不同的坐法共有（）
A. 120种B. 240种C. 360种D. 720种
3. 函数的图像大致是（）
A. B.
C. D.
4. 已知今天是星期三，则天后是（）
A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期五
5. 展开式中的系数是，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（）
A. 事件A与相互独立B. 事件A与互斥事件
C. D.
8. 设，则下列关系正确的是（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C. 甲乙不相邻的排法种数为72种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种
10. 已知，函数有两个极值点，则（）
A. 可能为负值
B. 为定值
C. 若，则过点作曲线的切线，切线方程为或
D. 若存在，使得，则
11. 在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（）
A.
B. 的前项和为
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
13. 4名同学打算参加学校组织的“文学社”、“街舞社”、“模联社”三个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则不同的参加方法数为______．
14. 已知实数、、、满足，则最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数处取得极大值．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值．
16. 现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．
17. 已知函数．
（1）讨论在区间上单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
18. 某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
（1）若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
（2）若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，
（i）求丙取出的第一道题是选择题的概率；
（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率．
19. 设函数
（1）若函数与的图象存在公切线，求的取值范围；
（2）若方程有两个不同的实根，求证：．
福州一中2023-2024学年第二学期第三学段模块考试
高二数学选择性必修三模块试卷
（完卷120分钟满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数，则（）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，再令即可得解.
【详解】，
所以.
故选：A.
2. 甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，则不同的坐法共有（）
A. 120种B. 240种C. 360种D. 720种
【答案】B
【解析】
【分析】利用相邻问题捆绑法计算即可.
【详解】由题意可知不同的坐法有.
故选：B
3. 函数的图像大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性可排除B，利用函数值正负可排除A，再根据单调性排除D，得解.
【详解】令，，
因为，所以是奇函数，排除B，
又当时，恒成立，排除A，
当时，，
，
，，函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，故D不正确.
故选：C.
4. 已知今天是星期三，则天后是（）
A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期五
【答案】A
【解析】
【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论.
【详解】
．
即除以7的余数为5，所以天后是星期一.
故选：A.
5. 的展开式中的系数是，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
故的展开式中的系数为：
，即.
故选：D.
6. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的性质，结合其图象求出a的范围，再用a表示，利用导数法求值域，即可计算作答.
【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，
方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，
由，得：，即，
而，，则，
于是得，
记，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
又函数在定义域上单调递减，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到之间的关系，从而减少变量得到，再利用导数求出其值域即可.
7. 校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（）
A. 事件A与相互独立B. 事件A与为互斥事件
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用相互独立事件，互斥事件的定义，条件概率的公式一一判定选项即可.
【详解】由题意易知分组情况为：2,1,1，即所有安排方案有种，
铅球区域可能安排2人或1人，所以，
同理，，
而，，
由相互独立事件的充要条件可知，事件A与不相互独立，
故A错误；
显然，事件A与能同时发生，不为互斥事件，故B错误；
由条件概率公式知，故C错误；
，故D正确.
故选：D
8. 设，则下列关系正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造，利用导数研究其单调性判定大小即可.
【详解】设，则，
易知，且，
所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减，
即，在时取得等号，
且，在时取得等号，则，在时取得等号，
所以，即.
故选：D
【点睛】思路点睛：比大小问题通常利用常用的切线放缩，通过构造函数利用导数研究其单调性计算即可.常用的函数切线放缩有，要注意取等条件.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C. 甲乙不相邻的排法种数为72种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，使用捆绑法进行求解；B选项，分两种情况，最左端排甲和最左端排乙，分别求出两种情况下排法，相加即可；C选项，采用插空法进行求解；D选项，定序问题采用倍缩法进行求解.
【详解】A选项，将甲与乙捆绑，看做一个整体，与其他三人站成一排，故有种，A正确；
B选项，若最左端排甲，此时其余四人可进行全排列，故有种，
若最左端排乙，则最右端只能从丙，丁，戊选出1人，其余三人与三个位置进行全排列，故有种选择，
综上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，B正确；
C选项，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，C正确；
D选项，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，D错误.
故选：ABC
10. 已知，函数有两个极值点，则（）
A. 可能为负值
B. 为定值
C. 若，则过点作曲线的切线，切线方程为或
D. 若存在，使得，则
【答案】BD
【解析】
【分析】求出函数导函数，即可判断A，从而得到，即可得到函数的单调性，求出极值点，再代入计算，即可判断B，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程，求出即可得到切线方程，从而判断C，对于D，将问题转化为有解，结合计算可得.
【详解】因为，则，
对于A：当时，恒成立，所以单调递减，故没有极值，故A错误；
对于B：当时，由解得，，
所以在区间，上单调递增，
在区间上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
而，
所以
为定值，故B正确.
对于C：若，，，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，则，
整理得，
令，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以方程的解为或，
所以切线方程为或，
所以函数过点的切线方程为或，故C错误；
对于D：若存在，使得，
即，
即，
即，
即，即，
由于，所以必存在，
对于，则有，
即，解得，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题B选项解答的关键是求出极值点，再代入计算，C选项过点的切线方程，需要设出切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，再根据切线过点，求出切点横坐标，即可求出切线方程，D选项关键是转化为不等式有解问题.
11. 在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（）
A.
B. 的前项和为
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可．
【详解】解：从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，
，所以为一个等比数列，，所以，故A错误；
，的前项和为
，故B正确；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，，构成一个等差数列，
项数之和为，则的最大整数为10，
杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，
取的就是第12行中的第三项，，故C正确；
，这11行中共去掉了22个1，
，故D正确，
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用组合数性质与公式计算即可.
【详解】因为，由组合数性质可知，所以.
故答案为：.
13. 4名同学打算参加学校组织的“文学社”、“街舞社”、“模联社”三个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则不同的参加方法数为______．
【答案】
【解析】
【分析】将4名同学分三组全排列可计算得出结果.
【详解】因为4名同学参加3三个社团，每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，
（1）先将4名同学分为3组，再将分好的3组全排列，共有种安排方法.
（2）先将4名同学分为2组，再将分好的2组某两个社团中，共有，
故共有种
故答案为：
14. 已知实数、、、满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方，只需求出上和直线平行的切线方程，结合导数的几何意义求出切点坐标，求出切点到直线的距离，即可得解.
【详解】因为实数、、、满足，所以，，，
所以，点在曲线上，点在曲线上，
的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．
考查曲线上和直线平行的切线，
对函数求导得，
令，解得，所以，切点为，
该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，
故的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极大值．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，然后令求出，代入验证是否符合题意即可；
（2）求导，确定函数在区间上的单调性，进而可求最大值.
【小问1详解】
由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
【小问2详解】
由（1）得，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，且.
因为,所以.
16. 现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用组合知识结合古典概型计算概率即可；
（2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可.
【小问1详解】
由题意可知总情况有种，
而翻开的四个半张扑克恰有2张相同的可能情况有，
所以这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率为；
【小问2详解】
由题意可知的可能取值有，
则，
，
所以的分布列为：
则.
17. 已知函数．
（1）讨论在区间上单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导函数，结合指数函数的单调性分区间讨论即可；
（2）分离参数，构造新函数利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.
【小问1详解】
由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
18. 某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
（1）若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
（2）若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，
（i）求丙取出的第一道题是选择题的概率；
（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率．
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）设出事件,利用全概率公式求解即可；
（2）设出事件，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2，
则，，，.
由全概率公式得第2题抽到论述题的概率.
【小问2详解】
设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”，
事件为“乙从A信封中取出2个选择题”，
事件“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”，
事件为“乙从A信封中取出2个论述题”，
则，，两两互斥且，
则，，，
，，，
（i）所以丙取出的第一道题是选择题的概率为，
（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，乙从箱中取出的是两道论述题的概率为.
19. 设函数
（1）若函数与的图象存在公切线，求的取值范围；
（2）若方程有两个不同的实根，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，分类讨论切点是否为公共点，结合构造函数法求其单调性与最值计算可得的取值范围；
（2）先构造函数，利用其导函数及零点个数判定，再二次函数根的分布结合隐零点确定，利用比值换元，消元转化得，构造函数判定，由适当放缩即可证明结论.
【小问1详解】
易知，
①若切点为两函数公共点，不妨设为，即，
易知切点为，此时，
②若切点不为两函数公共点，
由题意不妨设函数与上的切点分别为
，且，
即，
显然，化简上式得，
令，
显然时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
综上所述均符合题意，故的取值范围为
【小问2详解】
由题意可知有两个零点，即有两个零点，
令，
显然时，，即定义域上单调递减，不会存在两个零点，
则，由二次函数根的分布知只有一个使得，
此时，
即上单调递减，上单调递增，
要满足题意需，
又定义域上单调递减，
而时，，所以，
不妨设，所以，
则有，两式分别作和差得，
即，
整理得，
令，即单调递增，
所以，则，
即.
【点睛】方法点睛：对于双变量问题，常构造差函数或者利用比值换元，利用消元转化的思想将多元化为单变量，本题适当利用放缩，可极大的简化计算量.
0
1
2
4
P