2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市高一上册期末考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市高一上册期末考试数学检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列角中与终边相同的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据终边相同的角的表示判断即可.
【详解】与终边相同的角是，，
当时，，当时，．
结合选项可知只有与终边相同．
故选：B．
2. 命题：，使得，则的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】A
【分析】根据特称命题的否定规则来求解命题的否定.特称命题的否定是全称命题，即将存在量词“”改为全称量词“”，并否定结论.
【详解】存在量词命题：，使得的否定为“，”．
故选：A．
3. 已知，，其中表示不超过的最大整数，如，则（ ）
A. eB. 1C. 0D.
【正确答案】D
分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，所以．
故选：D．
4. 函数 的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由正弦函数和对数函数的单调性求出即可.
【详解】由题意可得，
所以函数 的单调递增区间为，
故选：A.
5. 设，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小.
【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即，
因为函数在上单调递减，且，所以，即；
因为函数在上单调递增，且，所以，即；
所以.
故选B.
6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据对数复合函数的区间单调性列不等式求参数范围.
【详解】因为，所以单调递增，结合复合函数的单调性，
要使在上单调递增，
则，解得．
故选：A
7. 当时，函数的零点个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【正确答案】C
【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解.
作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数.
【详解】由，得，
作出，，的图象，

由图可知，两函数的图象的交点有4个，
则曲线在上的零点个数为4．
故选：C．
8. 已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A. 1B. C. 2024D.
【正确答案】B
【分析】利用赋值法求得，结合迭代周期求得正确答案.
【详解】令，，则，因为，所以，
令，则，
则，
则，所以以6为周期，
令，得，所以，
则．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BD
【分析】根据奇偶函数定义对各选项判断即可.
【详解】对于A，定义域，，，所以为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，定义域，,所以偶函数，故B正确；
对于C，定义域，，所以奇函数，故C错误；
对于D，定义域，,所以偶函数，故D正确；
故选：BD
10. 下列四个命题正确的是（ ）
A. 若且，则为第二象限角
B. 将分针拨快15分钟，则分针转过的角度为
C.
D. 的图象关于直线对称
【正确答案】ACD
【分析】利用三角函数值符号判断A；利用任意角的意义判断B；利用余弦函数的性质判断C；利用轴对称的性质判断D.
【详解】对于A，由，为第二、四象限角，
由，得为第一、二象限角，或终边在轴的正半轴，
因此为第二象限角，A正确；
对于B，将分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，B错误；
对于C，，
因为，得，所以，C正确；
对于D，，
因此的图象关于直线对称，D正确.
故选：ACD
11. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BCD
【分析】由题意求出的范围，整理得，利用基本不等式的应用判断AC；结合二次函数性质可判断B；利用基本不等式中“1”的代换即可判断D.
【详解】由，得，
所以.
A：因为，所以，
当且仅当即时，等号成立，所以，故A错误；
B：因为，所以，
又，所以，即，故B正确；
C：因为，所以，
当且仅当即时，等号成立，所以，故C正确；
D：，
当且仅当即时，等号成立，所以，故D正确.
故选：BCD
12. 如图，函数的部分图象，则（ ）

A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
【正确答案】ACD
【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断.
【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，
由，得，而，则，
所以，A正确；
对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；
对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此在区间上单调递增，C正确.
对于D，函数的图象对称轴为，
当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，
此时，，当为偶数时，，而，
当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；
当或时，
函数在上单调，最大值与最小值的差最大，
，当或时均可取到等号，
所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确.
故选：ACD
思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________.
【正确答案】（答案不唯一）.
【分析】举例，再分析其定义域与单调性即可.
【详解】举例，其定义域为定义域为，且为减函数，
故答案：（答案不唯一）.
14. ________.
【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简即得.
【详解】.
故
15. 函数在区间上的最小值为__________用数字作答．
【正确答案】
【分析】利用二倍角公式化简得，根据的范围求得，再根据二次函数的性质求函数的最小值．
【详解】函数，
因为，所以，
所以当或时，函数同时取得最小值，为，
故．
16. 已知若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是_____________．
【正确答案】
【分析】令，问题转换成有两个零点，结合图像得到零点分布区间，即可求解；
【详解】令，画出的图象，如图，要使函数有5个不同的零点，即函数有两个零点，或，
当时，即，所以有两根-1和1，符合题意；
当时，又因为，所以解得．
综上所述，的取值范围为．
故
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若是必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出集合利用补集，交集运算计算即可；
（2）由集合是集合的真子集，建立不等式组，求解即可.
【小问1详解】
由．
当时，，则或，
所以．
【小问2详解】
若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，
由（1）问可知：，
所以且等号不同时成立，解得，
故实数m的取值范围为．
18. 已知.
（1）化简；
（2）若均为锐角，，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用诱导公式和三角函数的周期性化简即可.
（2）把所求角用已知角表示（整体思想），即，之所以用余弦是因为用正弦无法判断是第几象限角.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
由（1）得，所以，
因为均为锐角，所以，
又，所以，
由，得，
所以，
又为锐角，故.
19. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并用定义进行证明；
（2）若，试讨论在上的单调性．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【分析】（1）分和，不同时为0两种情况讨论可得结论；
（2）由已知得，分和两种情况讨论，当时，利用单调性的定义可得函数在上单调递增.
【小问1详解】
当时，既是奇函数也是偶函数；
当，不同时为0时，是奇函数，证明如下：
函数的定义域为，对于，都有，
且，
故为奇函数．
综上：当时，既是奇函数也是偶函数；当，不同时为0时，是奇函数.
【小问2详解】
当时，．
当时，在上无单调性；
当时，任取，，且，
则，
，，且，
，，．
若，则，即，
在上单调递增；
若，则fx1−fx2=ax1−x2⋅x1x2−2x1x2>0，即，
在上单调递减．
20. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；
①；②；③．
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值．
【正确答案】（1）选择模型③，，178千人．
（2）．
【分析】（1）根据表格中的数据变化情况选择模型，再利用待定系数法求出解析式及函数值.
（2）利用（1）的结论建立不等式，分离参数构造函数并求出其最大值即得.
【小问1详解】
由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是，解得，
所以函数模型对应的解析式为，
当时，预测2024年年末的会员人数为千人．
【小问2详解】
由（1）及已知得，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
函数在区间上单调递增，因此，
则，所以的最小值为．
21. 已知函数在区间上单调，且．
（1）求函数的图象的一个对称中心；
（2）若，求的解析式．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据条件确定出一个对称中心的横坐标为，由此可求结果；
（2）根据单调性先求解出的范围，从而可确定出的可取值；再根据（1）中的对称中心可求满足的关系式，分析关系式结合的可取值可确定出的值，从而可知，则的解析式可求.
小问1详解】
由题意可知，
因为在区间上单调，
所以当时，，
则函数的图象的一个对称中心为．
【小问2详解】
由题意可知，的最小正周期，所以，
因为，所以或，
由（1）可知，，，
因为，所以，
所以，或，，
若，，则，，
即，，，
易知，不存在，，使得或；
若，，则，，
即，，，
易知，当时，，
此时，，
由，得，此时满足条件，
所以．
综上可知，．
22. 已知函数，，.
（1）解不等式；
（2）设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用赋值法可得，再结合对数型函数的单调性，可解不等式；
（2）由（1）可得集合，设在上的值域为，易知，进而列不等式，解不等式组可得解.
【小问1详解】
由已知，
则，
解得，
所以，
且，即，
所以，即，
即，解得，
综上所述不等式的解集为；
【小问2详解】
由（1）得，
又，
设函数在的值域为，
又若对任意，存在，使得，
则，
设，，则，
又函数在上单调递增，
即，
此时函数即为，，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，即，即，
又，所以，解得；
当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为，
即，由，
可得，解得，不满足，所以不成立；
当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为，
即，由，
可得，解得，不满足，所以不成立；
当，即时，在上单调递减，
即，由，
可得，不等式无解，所以不成立；
综上所述，即.建立平台第年
1
2
3
会员人数（千人）
22
34
70