精品解析：2024年内蒙通辽市中考数学试题（解析版）

这是一份精品解析：2024年内蒙通辽市中考数学试题（解析版），共27页。
1．本试卷共8页，26道小题，满分为120分，考试时间为120分钟．
2．根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试迻均要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效．
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，第小题只有一个正确答案．请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1. 某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，根据温度零上记为正，则气温零下就记为负解题即可．
【详解】解：某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，则记为．
故选：A．
2. 如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查俯视图的确定，理解俯视图的定义，具备良好的空间想象能力是解题关键．俯视图即为从上面看到的图形，由此判断即可．
【详解】解：根据俯视图的定义，该几何体的俯视图是
故选：D．
3. 在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：）如下：
170 175 169 171 172 170 173
这组数据的中位数是（ ）
A. 175B. 172C. 171D. 170
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为169、170、170、171、172、173、175，
所以这组数据的中位数为171．
故选：C．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，算术平方根的含义，二次根式的加减运算，根据以上运算的运算法则逐一计算即可
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
5. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标．掌握关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出答案．
【详解】解：∵图形的对称轴是轴，
∴在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为，
故选：C．
6. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可．
【详解】解：由一次函数：的图象可得：
，，
由一次函数：的图象可得：
，，
∴，，，，
正确的结论是A，符合题意，
故选A．
7. 不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，
所以两次都摸出白球的概率是．
故选：C
8. 将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算．
由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出．
【详解】解：如图，∵

∴，
∵在三角板中，，
∴．
故选：B
9. 如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
10. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，
则平行于墙的一边的长为，
由题意得，
解得：，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，
故选C．
11. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可；
【详解】解：如图，连接，
∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，
∴，，
设拱门所在圆的半径为，
∴，而，
∴，
∴，
解得：，
∴拱门所在圆的半径为；
故选B
12. 如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握因式分解的方法．
14. 如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围)_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围．
【详解】解：由题意得，
．
故答案为：
15. 分式方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后求解并检验即可求解．
【详解】解：
解得：
经检验是原方程的解，
故答案为：．
16. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵底面半径为，
∴圆锥底面圆的周长为，
即扇形纸片的弧长为，
∵母线长为，
∴圆锥的侧面积．
故答案：
17. 关于抛物线（是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论的序号）．
①当时，抛物线对称轴是轴；
②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断．
【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确；
∵此抛物线与轴只有一个公共点，
∴方程的有两个相等的实数根，
∴，
解得：，故②错误；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，
∵点，在抛物线上，且，
∴，故③错误；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标在直线上，
如图，过点A作直线于点B，则点，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确．
故答案为：①④
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤）
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算绝对值，零指数幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可；
【详解】解：
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计算即可；
【详解】解：
，
当时，
原式；
20. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分别在表示出，，在得出，在中，根据等腰三角形的性质得，即可得出答案．
【详解】解：过点B作于点E，
在中，，米，
∴米，米，
米，
米
在中，，
米，
米，
，
米．
答：杨树的高度约米．
21. 为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机扎取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：
（1）频数分布表中________，________，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中________，所对应的扇形的圆心角度数是________．
【应用数据】
（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
【答案】（1）；，补全图形见解析；（2）；；（3）人
【解析】
【分析】本题考查的是从统计图表中获取信息，利用样本估计总体；
（1）根据整理数据的结果可得的值，再补全频数分布直方图即可；
（2）由D的人数除以总人数可得的值，由乘以D的百分比可得圆心角的大小；
（3）由总人数乘以D的百分比即可得到答案；
【详解】解：（1）整理数据可得：有：60、61、62、63、64、66、65、67；
∴；
的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、
∴；
补全图形如下：
；
（2）由，
∴；
所对应的扇形的圆心角度数是；
（3）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有（人）；
22. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）在中，勾股定理求得,证明，设半径为r，则，，在中，，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：在中，，
∵，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴半径的长为3
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
23. 某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．
【答案】（1）煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
（2）购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．
【解析】
【分析】（1）设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据购头2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，根据三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，列出不等式，可得的范围，设总的购买费用为元，再结合一次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元．
由题意得：，
解得：，
答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
【小问2详解】
解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，
由题意得：，
解得：，
∵a只能取正整数，
∴a的最大值为33，
设总的购买费用为元，
∴
，
∵，
∴当时，费用最低，
此时购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台；
答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键.
24. 【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：
（1）利用证明，即可；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；
（3）连接，取的中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可．
【详解】解：（1）在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
∵平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．
（1）求抛物线表示的函数解析式；
（2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积
（1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答；
（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答．
【小问1详解】
解：把代入函数中，得，
解得，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∵抛物线为常数）经过点，
∴，解得，
∴抛物线表示的函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线的函数解析式为，
∴顶点P的坐标为，
∵，
∴轴，，
过点D作于点E，则，
∴；
把代入函数中，得，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
26. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点．
问题1 和的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接，点是的中点，连接，．求证．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．
【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）如图，由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论；
（2）如图，由，，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论；
（3）如图， 证明在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，证明，可得，，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可；
【详解】解：；；理由如下：
如图，∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
（3）如图，∵，，
∴在以为圆心，为半径的上，
过作于，
当时，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，，
∴四边形是正方形，
∴当旋转角从变化到时，在上运动，
∵，，，
∴，
∴点经过路线的长度为.
【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键.
红
白1
白2
红
（红，红）
（白1，红）
（白2，红）
白1
（红，白1）
（白1，白1）
（白2，白1）
白2
（红，白2）
（白1，白2）
（白2，白2）
60
61
62
94
73
73
85
85
87
72
63
64
70
66
74
65
67
75
76
71
94
93
84
91
76
82
83
83
92
84
80
80
82
92
91
86
77
86
88
72
70
71
93
90
81
90
74
78
81
75
组别
成绩分组
频数
16
16