辽宁省部分学校2024届高三数学下学期3月二模考试含解析

这是一份辽宁省部分学校2024届高三数学下学期3月二模考试含解析，共23页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某体育老师记录了班上12名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，114，94，96，101，98，89，99，98，100，102，116，则这组数据的第80百分位数是（）
A. 100B. 101C. 101.5D. 102
2. 已知集合，则（）
AB. C. D.
3. 展开式中的系数为（）
A. 15B. 20C. 75D. 100
4. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
5. 已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
7. 在中，内角的对边分别为，且，则的值为（）
A. B. C. 3D. 2
8. 若，则（）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为异面直线，，则
10. 已知函数，则下列说法正确是（）
A. 函数最小正周期为
B. 函数在区间上单调递减
C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
D. 若，则
11. 已知抛物线焦点为，过的直线交于两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，其中，记的面积分别为，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数，则__________．
13. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________．
14. 如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求值；
（2）求的单调区间和极值.
16. 如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生这三人报名民航招飞．
（1）求这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率；
（2）根据这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设随机变量为这三人中能被招飞院校录取的人数，求的分布列和数学期望．
18. 如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为是直线上的两点，且，其中为坐标原点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点．
（1）记直线的斜率分别为，求的值；
（2）求点到直线的距离的最大值．
19. 如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
（1）若，求的值；
（2）若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；
（3）若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
2024届高三3月联考模拟检测卷
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某体育老师记录了班上12名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，114，94，96，101，98，89，99，98，100，102，116，则这组数据的第80百分位数是（）
A. 100B. 101C. 101.5D. 102
【答案】D
【解析】
【分析】先将数据由小到大排序，再求第80百分位数.
【详解】先将数据由小到大排序: 88，89， 94，96， 98， 98，99，100，101，102，114，116，
又，故这组数据的第80百分位数是第10个数据102.
故选：D.
2. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的性质以及分式不等式化简集合，即可利用并运算求解.
【详解】
，
所以，
故选：B
3. 展开式中的系数为（）
A15B. 20C. 75D. 100
【答案】A
【解析】
【分析】根据分配律，结合二项式定理的通项公式即可求解．
【详解】展开式中：
若提供常数项3，则提供含有的项，可得展开式中的系数：
若提供项，则提供含有的项，可得展开式中的系数：
由通项公式可得．
可知时，可得展开式中的系数为．
可知时，可得展开式中的系数为．
展开式中的系数为：．
故选：A．
4. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．
【详解】圆，圆心，半径，
，圆心，半径，
由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，
，，的中点，
圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，
故的方程：，即,故C正确．
故选：C．
5. 已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过球的表面积公式求出球的半径，然后在中，由余弦定理得，然后利用正弦定理求得的外接圆半径，利用勾股定理求得高，从而利用三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，解得.
在中，由余弦定理可得，
所以的外接圆半径为，所以，
设的外接圆的圆心为，则平面，
则球心到平面的距离为，则，
所以三棱锥的体积为.
故选：D
6. 已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可.
详解】如图所示
由题意知，解得
记的右焦点为，即，
由双曲线的定义，得，即
所以，
当且仅当点在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
故选：C.
7. 在中，内角的对边分别为，且，则的值为（）
A. B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】正弦定理角化边并结合余弦定理得,由基本不等式及三角函数最值得，求出B，再由正弦定理即可求解.
【详解】因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
化简得，即，
因为，当且仅当时等号成立，
又，故，因为，故，则，
由,则,
整理得,故
故选:A.
8. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，即可得出结果.
【详解】令，则，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递减，又，
而，所以，
即在区间上单调递增，所以，
得到，即，所以，
令，则，当时，，
即在区间上单调递增，
所以，得到，即，所以，
综上所述，，
故选：B.
【点睛】关键点点晴：通过构造函数和，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为异面直线，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线与平面的位置关系，由线面垂直、线面平行的性质逐项判断即可得出结论.
【详解】对于A，若，是两个不同的平面，则可得，即A正确；
对于B，若，当都平行于两平面的交线时，，可知B错误；
对于C，若，则可能会，即C错误；
对于D，若，又为异面直线，所以，即D正确.
故选：AD
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递减
C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可根据周期公式判断A，根据整体法判断B，根据函数图象的平移判断C，根据弦切互化以及二倍角公式即可求解D.
【详解】，
对于A，的周期为，A正确，
对于B，当，则，故B错误，
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故C正确，
对于D，，则，
故，
故，D正确，
故选：ACD
11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，其中，记的面积分别为，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意表示出所有点的坐标，通过三点共线我们可以得到，，，即，，，，，，由此即可逐一判断每个选项.
【详解】
由题意知，.
设，，，，显然.
那么由经过点，有，
也就是，即，
也就是，也就是，
同时，经过点，所以，
也就是，也就是，
也就是，也就是，
同理，，
综上，我们有，，，，，，，，.
故，，
所以，，，.
这就得到：，所以，A错误；
，所以，B正确；
由于，故，同理，这就说明，且相似比为.
所以，，得C,D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：关键是得到，，，，，，由此即可顺利得解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.
【详解】,
,
故答案为：
13. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件分别求出，，…,，相加可得答案．
【详解】函数的定义域为，满足，
且当,时，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据锐角三角函数可得，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.
详解】设，则，
故，
故
，
当时，，即时，
此时取最小值.
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于的表达式，从而得解，
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）求的单调区间和极值.
【答案】（1）
（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；
（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
则，因为函数在点处的切线与直线垂直，
故，解得；
【小问2详解】
因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
故的单调递减区间为和，单调递增区间为，
的极大值为，极小值为.
16. 如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量即可利用向量垂直求证．
（2）利用向量的夹角即可求解．
【小问1详解】
因为直三棱柱中,，故,所以两两垂直，
分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，，点是棱的中点
所以，
所以,
所以，
设平面法向量为，则，
令，则，，所以平面法向量．
设平面法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量．
由于，故，
因此平面平面；
【小问2详解】
由（1）知平面的法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生这三人报名民航招飞．
（1）求这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率；
（2）根据这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设随机变量为这三人中能被招飞院校录取的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据条件得出每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率，再利用独立重复试验模型，即可求出结果；
（2）分别计算出能被招飞院校录取的概率，再按步骤求出离散型随机变量的分布列及期望.
【小问1详解】
因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，
所以每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
故这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率.
【小问2详解】
因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估能被招飞院校录取的概率分别为，
所以能被招飞院校录取的概率为，
能被招飞院校录取的概率为，
能被招飞院校录取的概率为，
由题知，的可能取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为
.
18. 如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为是直线上的两点，且，其中为坐标原点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点．
（1）记直线的斜率分别为，求的值；
（2）求点到直线的距离的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用斜率公式及两直线垂直的条件即可求解；
（2）根据已知条件及椭圆的离心率公式求出椭圆的方程，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，结合（1）的结论，进而得出直线过定点，当直线的斜率不存在时，求出直线，与椭圆的方程联立，得出得坐标，得出直线过定点即可求解.
【小问1详解】
设，所以
又，所以，
又，
所以
【小问2详解】
由题意可知，解得
所以椭圆的方程为
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去，得，
则，
所以，
由（1）知，所以,
整理得，
所以，整理得，
即，解得，或
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意，舍去；
当，直线的方程为，过定点
当直线的斜率不存在时，易得，
所以直线的方程为，
由，消去，得，解得，或，
所以，同理得，
此时直线的方程是，过定点
综上，直线过定点
又，
所以点到直线的距离的最大值为.
【点睛】关键点点睛：第二问根据已知条件求出椭圆的方程，讨论直线的斜率的存在，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程的联立，利用韦达定理及（1）的结论，进而求出直线过定点和定直线即可.
19. 如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
（1）若，求的值；
（2）若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；
（3）若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，17
【解析】
【分析】（1）将分别代入即可求解；
（2）利用等差数列的定义和绝对值不等式性质先证充分性，再证必要性即可；
（3）构造等比数列求出的通项公式，进一步求其前n项和，分n为奇数和偶数两种情况结合数列的单调性，确定的通项，进而确定，再解不等式求解即可.
【小问1详解】
由题：令则，即，故，
得，又，同理可得，.
【小问2详解】
由题意，
故，
从而，即，
因为，所以即，故数列是等差数列.
【小问3详解】
因为,则，解得，
又，故是以为首项，公比为的等比数列，
则，即，
当n为奇数时，，易知单调递减，
故，得，进一步有；
当n为偶数时，，易知单调递增，
故，即，得，进一步有；
综上，，
易知
当n为偶数时，由，得即，无解；
当n为奇数时，
由,得即，
故，所以存在正整数，使得，正整数的最小值为17.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的通项公式及求和，关键是分奇数和偶数并利用数列单调性确定的范围来确定.
3
0
+
0
↘
极小值
↗
极大值
↘